Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache
; (b) ache
; (c) mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas, todas para a função
com domínio implícito
(porque
exige
). As perguntas são:
(a) achar (segunda derivada parcial em relação a
);
(b) achar (segunda derivada parcial em relação a
);
(c) mostrar que (as derivadas parciais mistas são iguais).
(a) achar
(b) achar
(c) mostrar que
Anotei que
é o mesmo que
. Não vou resolver aqui — só enumerei o que é pedido e a informação relevante.
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (bem mastigado):
- Derivada parcial em relação a
: derivar a função como se fosse constante. Analogamente para a derivada parcial em relação a . - Regras de derivação que usarei:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é ; em relação a é (quando é constante). - Derivada de
em relação a é ; em relação a é . - Derivada de
(ou ) em relação a é . - Derivada do produto
quando se deriva em : (pois é constante em relação a ).
- Derivada de
- Para mostrar
posso tanto calcular explicitamente as duas expressões quanto lembrar do teorema de Clairaut: se as segundas derivadas parciais são contínuas numa vizinhança do ponto, então as mistas coincidem. Aqui as funções envolvidas são suaves em , então as condições valem. Ainda assim vou calcular explicitamente para ficar cristalino.
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
,
.
Trate
como constante. Aplicando as regras:
- Derivada de
em relação a é (porque é constante). - Derivada de
em relação a é (pois é constante).
Portanto
Passo 4
Achar
derivando
em relação a
novamente.
Pegue
.
- Derivada de
em relação a é . - Para
, é constante; aplique a regra da potência para : Multiplicando por obtemos .
Logo
Passo 5
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
,
.
Trate
como constante. Aplicando as regras:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (pois é constante quando derivamos em ).
Portanto
Passo 6
Achar
derivando
em relação a
novamente.
Pegue
.
- Derivada de
em relação a é . - Para
, é constante; derivada de é . Então obtemos .
Logo
Passo 7
Calcular a derivada mista
, isto é
: derive
em relação a
.
Temos
.
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a : aqui é constante, então fica .
Portanto
Passo 8
Calcular a derivada mista
, isto é
: derive
em relação a
.
Temos
.
- Derivada de
em relação a é (pois é constante). - Derivada de
em relação a é .
Logo
Passo 9
Comparando as expressões obtidas em
Passo 10
Além disso, todas as segundas derivadas parciais aqui são combinações de
,
,
, funções racionais em
e potências de
(com
), que são contínuas em
. Pelo teorema de Clairaut (ou teorema das derivadas mistas), isso garante a igualdade das mistas em todo o domínio. Então a igualdade está demonstrada.
Resposta
(a)
(b)
(c)