Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache D_{11} f(x, y); (b) ache D_{22} f(x, y); (c) mostre que D_{12} f(x, y)=D_{21} f(x, y).
f(x, y)=e^{x} \cos y+\operatorname{tg}^{-1} x \cdot \ln y

Passo 1

O enunciado pede três coisas, todas para a função
f(x,y)=e^{x}\cos y+\operatorname{tg}^{-1}x\cdot\ln y,
com domínio implícito \{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} : y>0\} (porque \ln y exige y>0). As perguntas são:
(a) achar D_{11}f(x,y) (segunda derivada parcial em relação a x);
(b) achar D_{22}f(x,y) (segunda derivada parcial em relação a y);
(c) mostrar que D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y) (as derivadas parciais mistas são iguais).
Anotei que \operatorname{tg}^{-1}x é o mesmo que \arctan x. Não vou resolver aqui — só enumerei o que é pedido e a informação relevante.

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (bem mastigado):
  • Derivada parcial em relação a x: derivar a função como se y fosse constante. Analogamente para a derivada parcial em relação a y.
  • Regras de derivação que usarei:
    • Derivada de e^{x} em relação a x é e^{x}.
    • Derivada de \cos y em relação a y é -\sin y; em relação a x é 0 (quando y é constante).
    • Derivada de \ln y em relação a y é \dfrac{1}{y}; em relação a x é 0.
    • Derivada de \arctan x (ou \operatorname{tg}^{-1}x) em relação a x é \dfrac{1}{1+x^{2}}.
    • Derivada do produto u(x)\cdot v(y) quando se deriva em x: u'(x)\,v(y) (pois v(y) é constante em relação a x).
  • Para mostrar D_{12}=D_{21} posso tanto calcular explicitamente as duas expressões quanto lembrar do teorema de Clairaut: se as segundas derivadas parciais são contínuas numa vizinhança do ponto, então as mistas coincidem. Aqui as funções envolvidas são suaves em \mathbb{R}\times(0,\infty), então as condições valem. Ainda assim vou calcular explicitamente para ficar cristalino.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a x, \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y).
Trate y como constante. Aplicando as regras:
  • Derivada de e^{x}\cos y em relação a x é e^{x}\cos y (porque \cos y é constante).
  • Derivada de \arctan x\cdot\ln y em relação a x é \left(\dfrac{1}{1+x^{2}}\right)\cdot\ln y (pois \ln y é constante).
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{x}\cos y+\frac{\ln y}{1+x^{2}}.

Passo 4

Achar D_{11}f(x,y)=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y) derivando \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a x novamente.
Pegue \dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{x}\cos y+\dfrac{\ln y}{1+x^{2}}.
  • Derivada de e^{x}\cos y em relação a x é e^{x}\cos y.
  • Para \dfrac{\ln y}{1+x^{2}}=\ln y\cdot(1+x^{2})^{-1}, \ln y é constante; aplique a regra da potência para (1+x^{2})^{-1}: \frac{d}{dx}(1+x^{2})^{-1} = -1\cdot(1+x^{2})^{-2}\cdot 2x = -\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}.Multiplicando por \ln y obtemos -\dfrac{2x\ln y}{(1+x^{2})^{2}}.
Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y)=e^{x}\cos y-\frac{2x\ln y}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 5

Calcular a primeira derivada parcial em relação a y, \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).
Trate x como constante. Aplicando as regras:
  • Derivada de e^{x}\cos y em relação a y é e^{x}\cdot(-\sin y) = -e^{x}\sin y.
  • Derivada de \arctan x\cdot\ln y em relação a y é \arctan x\cdot\dfrac{1}{y} (pois \arctan x é constante quando derivamos em y).
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-e^{x}\sin y+\frac{\arctan x}{y}.

Passo 6

Achar D_{22}f(x,y)=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y) derivando \dfrac{\partial f}{\partial y} em relação a y novamente.
Pegue \dfrac{\partial f}{\partial y}=-e^{x}\sin y+\dfrac{\arctan x}{y}.
  • Derivada de -e^{x}\sin y em relação a y é -e^{x}\cos y.
  • Para \dfrac{\arctan x}{y}=\arctan x\cdot y^{-1}, \arctan x é constante; derivada de y^{-1} é -y^{-2}. Então obtemos -\dfrac{\arctan x}{y^{2}}.
Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y)=-e^{x}\cos y-\frac{\arctan x}{y^{2}}.

Passo 7

Calcular a derivada mista \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}, isto é D_{12}f(x,y): derive \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a y.
Temos \dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{x}\cos y+\dfrac{\ln y}{1+x^{2}}.
  • Derivada de e^{x}\cos y em relação a y é -e^{x}\sin y.
  • Derivada de \dfrac{\ln y}{1+x^{2}} em relação a y: aqui 1+x^{2} é constante, então fica \dfrac{1}{1+x^{2}}\cdot\dfrac{d}{dy}(\ln y)=\dfrac{1}{1+x^{2}}\cdot\dfrac{1}{y}.
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(x,y)=-e^{x}\sin y+\frac{1}{(1+x^{2})\,y}.

Passo 8

Calcular a derivada mista \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, isto é D_{21}f(x,y): derive \dfrac{\partial f}{\partial y} em relação a x.
Temos \dfrac{\partial f}{\partial y}=-e^{x}\sin y+\dfrac{\arctan x}{y}.
  • Derivada de -e^{x}\sin y em relação a x é -e^{x}\sin y (pois \sin y é constante).
  • Derivada de \dfrac{\arctan x}{y} em relação a x é \dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{1}{1+x^{2}}.
Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x,y)=-e^{x}\sin y+\frac{1}{(1+x^{2})\,y}.

Passo 9

Comparando as expressões obtidas em

Passo 10

\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(x,y) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x,y) = -e^{x}\sin y+\frac{1}{(1+x^{2})\,y}.
Além disso, todas as segundas derivadas parciais aqui são combinações de e^{x}, \sin y, \cos y, funções racionais em x e potências de y (com y>0), que são contínuas em \mathbb{R}\times(0,\infty). Pelo teorema de Clairaut (ou teorema das derivadas mistas), isso garante a igualdade das mistas em todo o domínio. Então a igualdade está demonstrada.

Resposta

(a) D_{11}f(x,y)=e^{x}\cos y-\dfrac{2x\ln y}{(1+x^{2})^{2}}
(b) D_{22}f(x,y)=-e^{x}\cos y-\dfrac{\arctan x}{y^{2}}
(c) D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y)=-e^{x}\sin y+\dfrac{1}{(1+x^{2})\,y}

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