Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache D_{11} f(x, y); (b) ache D_{22} f(x, y); (c) mostre que D_{12} f(x, y)=D_{21} f(x, y). f(x, y)=\operatorname{sen}^{-1} \frac{3 y}{x^{2}}
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função \displaystyle f(x,y)=\operatorname{sen}^{-1}\!\left(\frac{3y}{x^{2}}\right):
(a) achar D_{11}f(x,y) (ou seja, \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}});
(b) achar D_{22}f(x,y) (ou seja, \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}});
(c) mostrar que D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y) (ou seja, as derivadas parciais mistas são iguais).
Informações dadas explicitamente: a função é \displaystyle f(x,y)=\operatorname{sen}^{-1}\!\left(\dfrac{3y}{x^{2}}\right). Não há outras restrições fornecidas (assume-se x\neq0 e \left|\dfrac{3y}{x^{2}}\right|\le1 para que a \operatorname{sen}^{-1} seja definida).
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais primeiras. Vou explicar os conceitos usados:
Regra da cadeia para funções compostas: se f(z)=g(h(z)) então f'(z)=g'(h(z))\cdot h'(z). Para parciais, tratamos as outras variáveis como constantes.
Derivada da função arco-seno: se g(u)=\operatorname{sen}^{-1}(u) então g'(u)=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Notação: denoto u(x,y)=\dfrac{3y}{x^{2}}=3y\,x^{-2}. Então f(x,y)=\operatorname{sen}^{-1}(u(x,y)).
Calculemos \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}:
Agora achamos D_{11}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(D_{1}f\big). Vou diferenciar a expressão encontrada para D_{1}f em relação a x, tratando y como constante. Para facilitar, escrevo D_{1}f como produto de duas funções de x:
onde x é tratado como constante. Aplicamos a regra da cadeia: derivative é constante 3x^{-2} multiplicado pela derivada de \left(1-\dfrac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2} em relação a y.