Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache D_{11} f(x, y); (b) ache D_{22} f(x, y); (c) mostre que D_{12} f(x, y)=D_{21} f(x, y).
f(x, y)=\operatorname{sen}^{-1} \frac{3 y}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função \displaystyle f(x,y)=\operatorname{sen}^{-1}\!\left(\frac{3y}{x^{2}}\right):
(a) achar D_{11}f(x,y) (ou seja, \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}});
(b) achar D_{22}f(x,y) (ou seja, \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}});
(c) mostrar que D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y) (ou seja, as derivadas parciais mistas são iguais).
Informações dadas explicitamente: a função é \displaystyle f(x,y)=\operatorname{sen}^{-1}\!\left(\dfrac{3y}{x^{2}}\right). Não há outras restrições fornecidas (assume-se x\neq0 e \left|\dfrac{3y}{x^{2}}\right|\le1 para que a \operatorname{sen}^{-1} seja definida).

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais primeiras. Vou explicar os conceitos usados:
  • Regra da cadeia para funções compostas: se f(z)=g(h(z)) então f'(z)=g'(h(z))\cdot h'(z). Para parciais, tratamos as outras variáveis como constantes.
  • Derivada da função arco-seno: se g(u)=\operatorname{sen}^{-1}(u) então g'(u)=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
  • Notação: denoto u(x,y)=\dfrac{3y}{x^{2}}=3y\,x^{-2}. Então f(x,y)=\operatorname{sen}^{-1}(u(x,y)).
Calculemos \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(3y\,x^{-2}\big) =3y\cdot(-2)x^{-3} =-\frac{6y}{x^{3}}.
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(3y\,x^{-2}\big) =3x^{-2} =\frac{3}{x^{2}}.
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{-6y/x^{3}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{3y}{x^{2}}\right)^{2}}}.
É mais claro escrever isso assim:
\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{6y}{x^{3}}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2}.
E para a derivada em y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{3/x^{2}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{3y}{x^{2}}\right)^{2}}} = \frac{3}{x^{2}}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2}.
Resumo das derivadas primeiras (que usaremos depois):
\boxed{\displaystyle D_{1}f(x,y)= -\frac{6y}{x^{3}}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2}} \qquad\text{e}\qquad \boxed{\displaystyle D_{2}f(x,y)= \frac{3}{x^{2}}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2}.}

Passo 3

Agora achamos D_{11}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(D_{1}f\big). Vou diferenciar a expressão encontrada para D_{1}f em relação a x, tratando y como constante. Para facilitar, escrevo D_{1}f como produto de duas funções de x:
D_{1}f(x,y)=u(x)\,v(x),
com
u(x)=-6y\,x^{-3},\qquad v(x)=\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2}.
Aplicamos a regra do produto: \dfrac{d}{dx}(uv)=u'v+uv'.
Calculemos u'(x) e v'(x):
u'(x) = -6y\cdot(-3)x^{-4} = 18y\,x^{-4}.
Para v'(x) usamos a regra da cadeia novamente. Seja w(x)=1-9y^{2}x^{-4}. Então v(x)=w(x)^{-1/2} e
w'(x)= -9y^{2}\cdot(-4)x^{-5}=36y^{2}x^{-5}.
Logo
v'(x)= -\tfrac{1}{2}w(x)^{-3/2}\cdot w'(x) = -\tfrac{1}{2}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}\cdot 36y^{2}x^{-5} = -18y^{2}x^{-5}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}.
Agora aplicando u'v+uv':
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = 18y\,x^{-4}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2} + (-6y\,x^{-3})\cdot\Big(-18y^{2}x^{-5}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}\Big).
Simplificando o segundo termo (os sinais negativos se anulam):
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = 18y\,x^{-4}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2} +108y^{3}x^{-8}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}.
Fatorando um termo comum 18y\,x^{-4}\left(1-\dfrac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =18y\,x^{-4}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}+6\frac{y^{2}}{x^{4}}\right).
Dentro do parêntese -9\frac{y^{2}}{x^{4}}+6\frac{y^{2}}{x^{4}}=-3\frac{y^{2}}{x^{4}}, então
\boxed{\displaystyle D_{11}f(x,y)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =18y\,x^{-4}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}\left(1-3\frac{y^{2}}{x^{4}}\right).}
Se preferir, escrevendo sem potências negativas:
\displaystyle D_{11}f(x,y)=\frac{18y\!\left(1-3\dfrac{y^{2}}{x^{4}}\right)}{x^{4}\left(1-\dfrac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{3/2}}.

Passo 4

Agora D_{22}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(D_{2}f\big). Lembrando
D_{2}f(x,y)=\frac{3}{x^{2}}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2},
onde x é tratado como constante. Aplicamos a regra da cadeia: derivative é constante 3x^{-2} multiplicado pela derivada de \left(1-\dfrac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2} em relação a y.
Seja again w(y)=1-9y^{2}x^{-4}. Então
\frac{d}{dy}w(y)= -18y\,x^{-4}.
E
\frac{d}{dy}w(y)^{-1/2}= -\tfrac{1}{2}w(y)^{-3/2}\cdot w'(y) = -\tfrac{1}{2}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}\cdot(-18y\,x^{-4}) =9y\,x^{-4}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}.
Multiplicando por 3x^{-2} obtemos
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =3x^{-2}\cdot 9y\,x^{-4}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2} =27y\,x^{-6}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}.
Portanto
\boxed{\displaystyle D_{22}f(x,y)=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =27y\,x^{-6}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}}
ou, sem potências negativas,
\displaystyle D_{22}f(x,y)=\frac{27y}{x^{6}\left(1-\dfrac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{3/2}}.

Passo 5

Agora calculamos as parciais mistas e mostramos que são iguais.
Primeiro D_{12}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(D_{1}f\big). Lembrando
D_{1}f(x,y)=-6y\,x^{-3}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2},
trataremos como produto em y: a(y)=-6y\,x^{-3} e b(y)=\left(1-\dfrac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2}.
Derivadas:
a'(y)=-6x^{-3}, \qquad b'(y)= -\tfrac{1}{2}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}\cdot(-18y\,x^{-4}) =9y\,x^{-4}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}.
Aplicando a regra do produto:
\begin{aligned} D_{12}f(x,y) &= a'(y)b(y)+a(y)b'(y)\\[4pt] &= -6x^{-3}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2} +(-6y\,x^{-3})\cdot 9y\,x^{-4}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}\\[4pt] &= -6x^{-3}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2} -54y^{2}x^{-7}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}. \end{aligned}
Fatorando -6x^{-3}\left(1-\dfrac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}:
D_{12}f(x,y) = -6x^{-3}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}\Big(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}+9\frac{y^{2}}{x^{4}}\Big).
No parêntese -9\frac{y^{2}}{x^{4}}+9\frac{y^{2}}{x^{4}}=0, então sobra
\boxed{\displaystyle D_{12}f(x,y) = -6x^{-3}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}.}
Agora D_{21}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(D_{2}f\big). Lembrando
D_{2}f(x,y)=3x^{-2}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2}.
Trata-se novamente de produto em x: p(x)=3x^{-2}, q(x)=\left(1-\dfrac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2}.
Derivadas:
p'(x)=-6x^{-3},
e já calculamos q'(x)=-18y^{2}x^{-5}\left(1-\dfrac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2} (veja passo 3).
Aplicando a regra do produto:
\begin{aligned} D_{21}f(x,y) &= p'(x)q(x)+p(x)q'(x)\\[4pt] &= -6x^{-3}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2} +3x^{-2}\cdot\big(-18y^{2}x^{-5}\big)\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}\\[4pt] &= -6x^{-3}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-1/2} -54y^{2}x^{-7}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}. \end{aligned}
Isto é idêntico à expressão obtida para D_{12}f. Fatorando do mesmo modo obtemos
\boxed{\displaystyle D_{21}f(x,y) = -6x^{-3}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}.}
Portanto
\boxed{\displaystyle D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y)}
e a igualdade está verificada explicitamente pela mesma expressão.]

Resposta

(a) \displaystyle D_{11}f(x,y)=18y\,x^{-4}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}\left(1-3\frac{y^{2}}{x^{4}}\right)
(b) \displaystyle D_{22}f(x,y)=27y\,x^{-6}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}
(c) \displaystyle D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y)=-6x^{-3}\left(1-\frac{9y^{2}}{x^{4}}\right)^{-3/2}

Exercícios relacionados