Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache D_{11} f(x, y); (b) ache D_{22} f(x, y); (c) mostre que D_{12} f(x, y)=D_{21} f(x, y).
f(x, y)=4 x \operatorname{senh} y+3 y \operatorname{cosh} x

Passo 1

O enunciado pede três coisas aplicadas à função
f(x,y)=4x\operatorname{senh}y+3y\operatorname{cosh} x.
Vou reescrever usando a notação padrão das funções hiperbólicas em LaTeX:
f(x,y)=4x\operatorname{sinh} y+3y\operatorname{cosh} x.
As perguntas são:
(a) achar D_{11}f(x,y) (segunda derivada parcial em relação a x, ou seja \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2});
(b) achar D_{22}f(x,y) (segunda derivada parcial em relação a y, ou seja \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2});
(c) mostrar que D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y) (os dois mistas são iguais).
Também estou dando todas as informações da função acima: os termos são 4x\operatorname{sinh} y e 3y\operatorname{cosh} x.

Passo 2

Conceitos e regras que vou usar (explicadinhos):
  • Definição prática de derivada parcial: ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} trata-se y como constante e diferencia-se em relação a x; ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} trata-se x como constante e diferencia-se em relação a y.
  • Regra do produto (Leibniz) para derivadas: se g(x)=u(x)\,v(x) então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Para derivada parcial, a mesma ideia vale quando um fator depende da variável e o outro é tratado como constante.
  • Derivadas das funções hiperbólicas:
\frac{d}{dt}\operatorname{sinh} t=\operatorname{cosh} t,\qquad \frac{d}{dt}\operatorname{cosh} t=\operatorname{sinh} t.
Essas duas fórmulas significam: ao derivar \operatorname{sinh} aparece \operatorname{cosh}; ao derivar \operatorname{cosh} aparece \operatorname{sinh}.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem (essenciais para as segundas).
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: trate y como constante.
    • O termo 4x\operatorname{sinh} y em relação a x: \operatorname{sinh} y é constante, então a derivada é 4\operatorname{sinh} y.
    • O termo 3y\operatorname{cosh} x em relação a x: 3y é constante e \dfrac{d}{dx}\operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x, logo a derivada é 3y\operatorname{sinh} x.
      Portanto
    \frac{\partial f}{\partial x}=4\operatorname{sinh} y+3y\operatorname{sinh} x.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: trate x como constante.
    • O termo 4x\operatorname{sinh} y em relação a y: 4x é constante e \dfrac{d}{dy}\operatorname{sinh} y=\operatorname{cosh} y, logo a derivada é 4x\operatorname{cosh} y.
    • O termo 3y\operatorname{cosh} x em relação a y: \operatorname{cosh} x é constante e a derivada de 3y é 3, logo a derivada é 3\operatorname{cosh} x.
      Portanto
    \frac{\partial f}{\partial y}=4x\operatorname{cosh} y+3\operatorname{cosh} x.

Passo 4

Agora calculo D_{11}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}.
Parto de \dfrac{\partial f}{\partial x}=4\operatorname{sinh} y+3y\operatorname{sinh} x.
  • Derivando termo a termo em relação a x: 4\operatorname{sinh} y é constante em x (pois depende só de y), então sua derivada é 0.
  • Para 3y\operatorname{sinh} x: 3y é constante (em relação a x), e \dfrac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x. Logo a derivada é 3y\operatorname{cosh} x.
    Portanto
D_{11}f(x,y)=3y\operatorname{cosh} x.

Passo 5

Agora calculo D_{22}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}.
Parto de \dfrac{\partial f}{\partial y}=4x\operatorname{cosh} y+3\operatorname{cosh} x.
  • Derivando termo a termo em relação a y: para 4x\operatorname{cosh} y, 4x é constante (em relação a y) e \dfrac{d}{dy}\operatorname{cosh} y=\operatorname{sinh} y, então a derivada é 4x\operatorname{sinh} y.
  • O termo 3\operatorname{cosh} x não depende de y, então sua derivada é 0.
    Portanto
D_{22}f(x,y)=4x\operatorname{sinh} y.

Passo 6

Calculo os mistas e mostro que são iguais.
  • Primeiro D_{12}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right).
    Parto de \dfrac{\partial f}{\partial x}=4\operatorname{sinh} y+3y\operatorname{sinh} x.
    • Derivando em relação a y: \dfrac{d}{dy}(4\operatorname{sinh} y)=4\operatorname{cosh} y.
    • Para 3y\operatorname{sinh} x: \operatorname{sinh} x é constante (em relação a y), e \dfrac{d}{dy}(3y)=3. Logo a derivada é 3\operatorname{sinh} x.
      Assim
    D_{12}f(x,y)=4\operatorname{cosh} y+3\operatorname{sinh} x.
  • Agora D_{21}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
    Parto de \dfrac{\partial f}{\partial y}=4x\operatorname{cosh} y+3\operatorname{cosh} x.
    • Derivando em relação a x: para 4x\operatorname{cosh} y, \operatorname{cosh} y é constante e a derivada de 4x é 4, então o termo dá 4\operatorname{cosh} y.
    • Para 3\operatorname{cosh} x: \dfrac{d}{dx}\operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x, multiplicando por 3 3\operatorname{sinh} x.
      Assim
    D_{21}f(x,y)=4\operatorname{cosh} y+3\operatorname{sinh} x.
Comparando as duas expressões vemos que elas são idênticas:
D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y)=4\operatorname{cosh} y+3\operatorname{sinh} x.

Resposta

D_{11}f(x,y)=3y\operatorname{cosh} x
D_{22}f(x,y)=4x\operatorname{sinh} y
D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y)=4\operatorname{cosh} y+3\operatorname{sinh} x

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