Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache
; (b) ache
; (c) mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas aplicadas à função
Vou reescrever usando a notação padrão das funções hiperbólicas em LaTeX:
As perguntas são:
(a) achar (segunda derivada parcial em relação a
, ou seja
);
(b) achar (segunda derivada parcial em relação a
, ou seja
);
(c) mostrar que (os dois mistas são iguais).
(a) achar
(b) achar
(c) mostrar que
Também estou dando todas as informações da função acima: os termos são
e
.
Passo 2
Conceitos e regras que vou usar (explicadinhos):
- Definição prática de derivada parcial: ao calcular
trata-se como constante e diferencia-se em relação a ; ao calcular trata-se como constante e diferencia-se em relação a . - Regra do produto (Leibniz) para derivadas: se
então . Para derivada parcial, a mesma ideia vale quando um fator depende da variável e o outro é tratado como constante. - Derivadas das funções hiperbólicas:
Essas duas fórmulas significam: ao derivar
aparece
; ao derivar
aparece
.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem (essenciais para as segundas).
-
Para
: trate como constante. - O termo
em relação a : é constante, então a derivada é . - O termo
em relação a : é constante e , logo a derivada é .
Portanto
- O termo
-
Para
: trate como constante. - O termo
em relação a : é constante e , logo a derivada é . - O termo
em relação a : é constante e a derivada de é , logo a derivada é .
Portanto
- O termo
Passo 4
Agora calculo
.
Parto de .
Parto de
- Derivando termo a termo em relação a
: é constante em (pois depende só de ), então sua derivada é . - Para
: é constante (em relação a ), e . Logo a derivada é .
Portanto
Passo 5
Agora calculo
.
Parto de .
Parto de
- Derivando termo a termo em relação a
: para , é constante (em relação a ) e , então a derivada é . - O termo
não depende de , então sua derivada é .
Portanto
Passo 6
Calculo os mistas e mostro que são iguais.
-
Primeiro
.
Parto de. - Derivando em relação a
: . - Para
: é constante (em relação a ), e . Logo a derivada é .
Assim
- Derivando em relação a
-
Agora
.
Parto de. - Derivando em relação a
: para , é constante e a derivada de é , então o termo dá . - Para
: , multiplicando por dá .
Assim
- Derivando em relação a
Comparando as duas expressões vemos que elas são idênticas: