Nos exercicios de 1 a 10 calcule as integrais, em seguida, derive as respostas para conferir os resultados.
integral x^3+2 x^2-1x^4 d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral
integral x^3+2x^2-1x^4,dx
O conteúdo envolvido é integração de funções potenciais, usando a regra
integral x^n,dx=x^n+1n+1+C
Depois vamos derivar o resultado para conferir.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando dividindo cada termo por x^4:
x^3x^4=x^-1, 2x^2x^4=2x^-2, -1x^4=-x^-4
Então
x^3+2x^2-1x^4=x^-1+2x^-2-x^-4

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integral x^-1,dx=ln|x|,
integral 2x^-2,dx=2cdotx^-1-1=-2x^-1,
integral(-x^-4),dx=-x^-3-3=13x^-3
Logo uma primitiva é
F(x)=ln|x|-2x+13x^3+C

Passo 4

Para conferir, derivamos F(x):
Derivada de ln|x| é 1/x,
derivada de -2x^-1 é (-2)\cdot(-1)x{-2}=2x{-2},
derivada de tfrac13x^-3 é tfrac13(-3)x^-4=-x^-4
Somando:
F'(x)=1x+2x^-2-x^-4
e isso coincide com o integrando original.

Passo 5

Finalizamos que a primitiva encontrada está correta porque sua derivada devolve exatamente x^-1+2x^-2-x^-4, isto é, x^3+2x^2-1x^4.

Resposta

ln|x|-2x+13x^3+C

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