Quantas linhas e colunas é preciso que a matriz A tenha para que se possa definir uma aplicação de \mathbb{R}^{5} em \mathbb{R}^{7} pela regra T(\mathbf{x})=A \mathbf{x} ?

Passo 1

O enunciado pede para definir uma transformação linear
T:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{7}
pela regra T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}. O conteúdo aqui é entender a relação entre as dimensões do domínio, do contradomínio e o formato da matriz que representa essa aplicação.

Passo 2

Para multiplicar A\mathbf{x} com \mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}, a matriz A precisa ter n colunas. E o resultado A\mathbf{x} estará em \mathbb{R}^{m} se A tiver m linhas. Aqui o domínio é \mathbb{R}^{5} e o contradomínio é \mathbb{R}^{7}, logo:
n = 5,\quad m = 7.
Portanto, A deve ter 7 linhas e 5 colunas.

Resposta

A matriz A deve ser de dimensão 7\times5, ou seja, ter 7 linhas e 5 colunas.

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