Nos exercícios 1-10, esboce a região de integração e cal:ule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
Isso envolve o conteúdo de integrais duplas, que são usadas para calcular volumes ou áreas sobre regiões específicas no plano. Vamos precisar entender como integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os limites de integração. A integral externa vai de
até
, e para cada valor de
,
varia de
até
. Isso significa que estamos integrando sobre um retângulo no plano
, onde
está entre 0 e 3, e
está entre -2 e 0.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte interna da integral, que é a integração em relação a
:
Podemos simplificar essa expressão antes de integrar. Note que tanto
quanto
têm
como fator comum.
Passo 4
Vamos integrar termo a termo:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando uma integral definida.
Passo 5
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
a
:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 6
Agora, somamos os resultados dos dois termos:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 7
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a
, dos limites 0 a 3:
Vamos integrar termo a termo novamente.
Passo 8
Integrando cada termo:
Passo 9
Aplicando os limites de integração de
a
:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Resposta
Somando os dois resultados:
Portanto, o valor da integral é 0.