Nos exercícios 1-10, esboce a região de integração e cal:ule a integral.
integral0^3 integral-2^0(x^2 y-2 x y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
integral0^3 integral-2^0(x^2 y - 2 x y) , dy , dx
Isso envolve o conteúdo de integrais duplas, que são usadas para calcular volumes ou áreas sobre regiões específicas no plano. Vamos precisar entender como integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os limites de integração. A integral externa vai de x = 0 até x = 3 , e para cada valor de x , y varia de -2 até 0 . Isso significa que estamos integrando sobre um retângulo no plano xy , onde x está entre 0 e 3, e y está entre -2 e 0.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte interna da integral, que é a integração em relação a y :
integral-2^0 (x^2 y - 2 x y) , dy
Podemos simplificar essa expressão antes de integrar. Note que tanto x^2 y quanto -2 x y têm y como fator comum.

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
integral (x^2 y) , dy = x^2 integral y , dy = x^2 ( y^22 ) + C
integral (-2 x y) , dy = -2 x integral y , dy = -2 x ( y^22 ) + C = -x y^2 + C
Onde C é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando uma integral definida.

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de y = -2 a y = 0 :
Primeiro termo:
x^2 ( 0^22 - (-2)^22 ) = x^2 ( 0 - 42 ) = x^2 ( -2 ) = -2x^2
Segundo termo:
- x ( 0^2 - (-2)^2 ) = -x ( 0 - 4 ) = -x ( -4 ) = 4x

Passo 6

Agora, somamos os resultados dos dois termos:
-2x^2 + 4x
Então, a integral interna resulta em -2x^2 + 4x .

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a x , dos limites 0 a 3:
integral0^3 ( -2x^2 + 4x ) , dx
Vamos integrar termo a termo novamente.

Passo 8

Integrando cada termo:
integral -2x^2 , dx = -2 cdot x^33 = -23x^3
integral 4x , dx = 4 cdot x^22 = 2x^2

Passo 9

Aplicando os limites de integração de x = 0 a x = 3 :
Primeiro termo:
-23(3)^3 = -23 cdot 27 = -18
Segundo termo:
2(3)^2 = 2 cdot 9 = 18

Resposta

Somando os dois resultados:
-18 + 18 = 0
Portanto, o valor da integral é 0.

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