Nos exercícios 31-40, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Região quadrada integral duplaR(y-2 x^2) d A, onde R é a região limitada pelo quadrado |x|+|y|=1.

Passo 1

Temos a integral dupla
integral duplaRl(y - 2x^2r),dA
sobre a região
[
R = {(x,y): |x| + |y| \le 1}.
O conteúdo envolve integrais duplas, mudança de ordem de integração e uso de simetria para simplificar o cálculo.

Passo 2

A região
|x| + |y| = 1
é um losango (diamante) no plano com vértices em (1,0), (0,1), (−1,0), (0,−1). Esboçando, cada linha de nível de |x|+|y|=c é um losango menor.

Passo 3

Escolhendo primeiro integrar em y e depois em x, para cada x in [−1,1] temos
y min = -l(1 - |x|r), y max = +l(1 - |x|r)
Assim a integral vira
integralx=-1^1integraly=-(1-|x|)^1-|x| l(y - 2x^2r),dy,dx

Passo 4

Invertendo a ordem, integramos primeiro em x e depois em y. Para cada y in [-1,1] temos
x min = -l(1 - |y|r), x max = +l(1 - |y|r),
e a integral fica
integraly=-1^1integralx=-(1-|y|)^1-|y| l(y - 2x^2r),dx,dy

Passo 5

Dividimos a integral em duas partes:
integral duplaR y,dA e -2integral duplaR x^2,dA
Pela simetria em y, a região é simétrica em torno de y=0 e y é função ímpar, então
integral duplaR y,dA = 0

Passo 6

Agora calculamos
-2integral duplaR x^2,dA
usando a primeira ordem (y depois x):
-2integralx=-1^1gl[integraly=-(1-|x|)^1-|x| x^2,dygr]dx =-2integral-1^1 x^2l[2(1-|x|)r],dx =-4integral-1^1 x^2(1-|x|),dx
Como a função é par, dobramos a integral de 0 a 1:
-4cdot2integral0^1 x^2(1-x),dx =-8[x^33-x^44]0^1 =-8(13-14) =-8cdot112 =-23

Resposta

-2/3

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