Nos exercícios 31-40, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Região quadrada
, onde
é a região limitada pelo quadrado
.
Região quadrada
Passo 1
Temos a integral dupla
sobre a região
[
R = {(x,y): |x| + |y| \le 1}.
O conteúdo envolve integrais duplas, mudança de ordem de integração e uso de simetria para simplificar o cálculo.
R = {(x,y): |x| + |y| \le 1}.
O conteúdo envolve integrais duplas, mudança de ordem de integração e uso de simetria para simplificar o cálculo.
Passo 2
A região
é um losango (diamante) no plano com vértices em (1,0), (0,1), (−1,0), (0,−1). Esboçando, cada linha de nível de |x|+|y|=c é um losango menor.
Passo 3
Escolhendo primeiro integrar em y e depois em x, para cada x
temos
Assim a integral vira
Passo 4
Invertendo a ordem, integramos primeiro em x e depois em y. Para cada y
temos
e a integral fica
Passo 5
Dividimos a integral em duas partes:
Pela simetria em y, a região é simétrica em torno de y=0 e y é função ímpar, então
Passo 6
Agora calculamos
usando a primeira ordem (y depois x):
Como a função é par, dobramos a integral de 0 a 1:
Resposta
-2/3