Nos exercícios 31-40, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
integral0^8 integralraiz[3]x^2 d y d xy^4+1

Passo 1

O enunciado pede que a gente considere a região
;0<= x<=8, raiz[3]x<= y<=2
e calcule
integral0^8!integralraiz[3]x^2dy,dxy^4+1
Faremos o esboço do domínio, depois inverteremos a ordem de integração e, por fim, calcularemos a integral resultante.

Passo 2

O domínio D é dado por
D=l(x,y)mid 0<= x<=8,;raiz[3]x<= y<=2r
Em termos de curvas, isso equivale a estar abaixo da reta horizontal y=2, à direita do eixo x=0 e acima da curva y=raiz[3]x, que é o mesmo que x=y^3.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos D no eixo y. Vemos que y varia de 0 (quando x=0) até 2. Para um y fixo, x vai de 0 até y^3.
Logo
integral duplaDdAy^4+1 =integraly=0^2!integralx=0^y^3dx,dyy^4+1

Passo 4

Na integral interna dx, o integrando tfrac1y^4+1 é constante em x, então
integral0^y^3dxy^4+1 =y^3y^4+1
Portanto a integral total fica
integral0^2y^3y^4+1,dy

Passo 5

Fazemos a substituição
u=y^4+1, du=4y^3,dyLongrightarrow y^3,dy=du4
Quando y=0, u=1; quando y=2, u=17. Assim
integral0^2y^3y^4+1,dy =integralu=1^171u,du4 =14integral1^17duu =14l[ln ur]1^17 =14ln(17)

Resposta

14ln(17)

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