Nos exercícios 11-16, integre f sobre a região dada.
Retângulo f(x, y)=y cos x y sobre o retângulo 0 <= x <= pi, 0 <= y <= 1. 2/

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla de
f(x,y)=ycos(xy)
sobre o retângulo definido por 0<= x<=pi e 0<= y<=1.
O conteúdo aqui é cálculo de integrais iteradas numa região retangular. Vamos escolher integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Escrevemos a integral como
integral duplaRycos(xy),dA =integraly=0^1l(integralx=0^piycos(xy),dxr)dy
Note que, para a integral interna, y é tratado como constante.

Passo 3

Calculemos
integralx=0^piycos(xy),dx
Como integralcos(xy),dx=1ysin(xy), temos
integral0^piycos(xy),dx =ycdot1yl[sin(xy)r]0^pi =sin(pi y)-sin(0) =sin(pi y)

Passo 4

Substituindo na integral exterior, resta
integraly=0^1sin(pi y),dy
Usamos integralsin(pi y),dy=-1picos(pi y), logo
integral0^1sin(pi y),dy =-1pil[cos(pi y)r]0^1 =-1pil(cos(pi)-cos(0)r)

Passo 5

Sabendo que cos(pi)=-1 e cos(0)=1, temos
-1pil(-1-1r) =-1pi(-2) =2pi

Resposta

integral duplaRycos(xy),dA=2pi

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