Resolver as seguintes equações de Euler-Cauchy.
d) x^2 y^prime prime-x y^prime+2 y-1+(ln x)^2.
2
Rescrever as equações diferenciais (ou sistemas) como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem na forma matricial. Calcule uma matriz fundamental para o sistema. Dê a solução geral do sistema. Dê a solução geral da equação dada.
a) dddoty-3 ddoty-6 doty-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Resolver a equação de Euler–Cauchy
x^2y''-x,y'+2y-1+(ln x)^2=0,
ou seja
x^2y''-x,y'+2y=1-(ln x)^2
  1. Para a equação de terceira ordem
dddot y-3ddot y-6dot y-2y=0
– escrever como sistema de primeira ordem na forma y' = A, y, achar a matriz fundamental, dar solução geral do sistema e, daí, do y.

Passo 2

Método para a equação de Euler–Cauchy: fazemos a mudança de variável
x=e^t, y(x)=u(t)
Então
y'=u'x, y''=u''-u'x^2,
e a equação
x^2y''-x,y'+2y=1 - t^2
fica
(u''-u')-u'+2u=1 - t^2,
isto é
u''-2u'+2u=1 - t^2

Passo 3

Resolvendo a parte homogênea
u''-2u'+2u=0
temos o polinômio característico
r^2-2r+2=0Longrightarrow r=1pm i
Logo
uh(t)=e^tl(C1cos t + C2sin tr)

Passo 4

Procuramos uma solução particular do tipo
up(t)=A,t^2+B,t+C
Então
up'=2At+B, up''=2A,
e na equação não–homogênea
2A-2(2At+B)+2(At^2+Bt+C)=1-t^2
coletando coeficientes em t^2,t,1 determina
A=-tfrac12, B=-1, C=0
Logo
up(t)=-tfrac12,t^2-t

Passo 5

Voltando a y: como t=ln x,
y(x)=uh(ln x)+up(ln x) =xl(C1cos(ln x)+C2sin(ln x)r) -tfrac12(ln x)^2-ln x

Passo 6

Agora a equação
dddot y-3ddot y-6dot y-2y=0
é transformada em sistema de 1ª ordem. Definimos
y1=y, y2=dot y, y3=ddot y
As equações são
y1'=y2, y2'=y3, y3'=3y3+6y2+2y1

Passo 7

Em forma matricial y=(y1,y2,y3)^T,
y'=A, y, A= 0&1&0 0&0&1 2&6&3
O polinômio característico de A é
det(A-lambda I)=lambda^3-3lambda^2-6lambda-2=0,
cuja fatoração dá
(lambda+1)l(lambda^2-4lambda-2r)=0
e raízes
lambda1=-1, lambda2=2+raiz6, lambda3=2-raiz6

Passo 8

Os autovetores associados podem ser escolhidos como
v^(1)=-11-1, v^(2)=1lambda2lambda2^2, v^(3)=1lambda3lambda3^2
Uma matriz fundamental é
Phi(t)=l[e^lambda1tv^(1);;e^lambda2tv^(2);;e^lambda3tv^(3)r]
Logo a solução geral do sistema é
y(t) =C1e^-tv^(1) +C2e^(2+raiz6),tv^(2) +C3e^(2-raiz6),tv^(3)

Resposta

d) A solução geral da Euler–Cauchy é
a) A solução geral de é
E o sistema associado tem matriz fundamental dada acima.

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