Resolver as seguintes equações de Euler-Cauchy.
d) .
2
Rescrever as equações diferenciais (ou sistemas) como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem na forma matricial. Calcule uma matriz fundamental para o sistema. Dê a solução geral do sistema. Dê a solução geral da equação dada.
a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Resolver a equação de Euler–Cauchy
ou seja
Para a equação de terceira ordem
– escrever como sistema de primeira ordem na forma , achar a matriz fundamental, dar solução geral do sistema e, daí, do .
Passo 2
Método para a equação de Euler–Cauchy: fazemos a mudança de variável
Então
e a equação
fica
isto é
Passo 3
Resolvendo a parte homogênea
temos o polinômio característico
Logo
Passo 4
Procuramos uma solução particular do tipo
Então
e na equação não–homogênea
coletando coeficientes em determina
Logo
Passo 5
Voltando a : como ,
Passo 6
Agora a equação
é transformada em sistema de 1ª ordem. Definimos
As equações são
Passo 7
Em forma matricial ,
O polinômio característico de A é
det(A-lambda I)=lambda^3-3lambda^2-6lambda-2=0,
cuja fatoração dá
(lambda+1)l(lambda^2-4lambda-2r)=0
e raízes
lambda1=-1, lambda2=2+raiz6, lambda3=2-raiz6
Passo 8
Os autovetores associados podem ser escolhidos como