Nos exercícios 9 e 10 resolva o problema de valor inicial.
((y-1) x^{\prime}-3 x=(y-1)^{5}, \quad x(-1)=16)

Passo 1

O enunciado dá a EDO
(y-1)\,\frac{dx}{dy}-3x=(y-1)^{5},
com condição inicial x(-1)=16.
Trata-se de uma equação linear de primeira ordem em x(y). Vamos colocá-la na forma padrão \displaystyle \frac{dx}{dy}+p(y)x=q(y).

Passo 2

Dividindo toda a equação por y-1 (pressupondo y\neq1), obtemos
\frac{dx}{dy}-\frac{3}{y-1}\,x=(y-1)^{4}.
Logo
p(y)=-\frac{3}{y-1}, \quad q(y)=(y-1)^{4}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(y)=\exp\!\Bigl(\int p(y)\,dy\Bigr) =\exp\!\Bigl(\int -\tfrac{3}{y-1}\,dy\Bigr) =(y-1)^{-3}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(y)=(y-1)^{-3}, fica
(y-1)^{-3}\frac{dx}{dy}-3(y-1)^{-4}x=(y-1).
O lado esquerdo é exatamente \displaystyle \frac{d}{dy}\bigl(x\,(y-1)^{-3}\bigr), logo
\frac{d}{dy}\bigl(x\,(y-1)^{-3}\bigr)=(y-1).

Passo 5

Integramos em y:
x\,(y-1)^{-3}=\int (y-1)\,dy=\frac{(y-1)^{2}}{2}+C.
Multiplicando por (y-1)^{3}, obtemos a solução geral
x(y)=\frac{(y-1)^{5}}{2}+C\,(y-1)^{3}.

Passo 6

Aplicando a condição x(-1)=16, note que (y-1)|_{y=-1}=-2. Assim
16 =x(-1) =\frac{(-2)^{5}}{2}+C\,(-2)^{3} =-16-8C \quad\Longrightarrow\quad -8C=32 \quad\Longrightarrow\quad C=-4.

Resposta

x(y)=\frac{(y-1)^{5}}{2}-4\,(y-1)^{3}.

Exercícios relacionados