Nos exercícios 12 a 17 verifique quais equações são homogêneas e resolva-as.
((x{2}+y{2}) d x-2 x y d y=0)
((x{2}+y{2}) d x-2 x y d y=0)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
é homogênea e, em caso afirmativo, resolver essa equação diferencial. Vamos usar o método de equações homogêneas, que envolve a substituição
.
Passo 2
Identificamos as funções
Ambas são polinômios homogêneos de grau 2 (pois
e
), logo a equação é homogênea.
Passo 3
Em equações homogêneas, fazemos
, daí
Também temos
Reescrevendo a equação original em forma
, obtemos
Logo
Passo 4
Isolamos
:
Isso leva à equação separável
Passo 5
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo, use a substituição
,
, obtendo
No lado direito,
Portanto
ou
Passo 6
Voltando a
, temos
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A equação é homogênea e sua solução geral é
com
constante de integração.