Nos exercícios 12 a 17 verifique quais equações são homogêneas e resolva-as.
((x{2}+y{2}) d x-2 x y d y=0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
(x^{2}+y^{2})\,dx-2xy\,dy=0
é homogênea e, em caso afirmativo, resolver essa equação diferencial. Vamos usar o método de equações homogêneas, que envolve a substituição y=vx.

Passo 2

Identificamos as funções
M(x,y)=x^{2}+y^{2}, \quad N(x,y)=-2xy.
Ambas são polinômios homogêneos de grau 2 (pois M(tx,ty)=t^{2}M(x,y) e N(tx,ty)=t^{2}N(x,y)), logo a equação é homogênea.

Passo 3

Em equações homogêneas, fazemos y=vx, daí
dy = v\,dx + x\,dv.
Também temos
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Reescrevendo a equação original em forma \frac{dy}{dx}=\cdots, obtemos
\frac{dy}{dx} =\frac{M(x,y)}{N(x,y)} =\frac{x^{2}+y^{2}}{2xy} =\frac{1+v^{2}}{2v}.
Logo
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v^{2}}{2v}.

Passo 4

Isolamos \frac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx} =\frac{1+v^{2}}{2v}-v =\frac{1+v^{2}-2v^{2}}{2v} =\frac{1-v^{2}}{2v}.
Isso leva à equação separável
\frac{2v}{1-v^{2}}\,dv=\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{2v}{1-v^{2}}\,dv =\int \frac{dx}{x}.
No lado esquerdo, use a substituição u=1-v^{2}, du=-2v\,dv, obtendo
\int \frac{2v}{1-v^{2}}\,dv =-\int \frac{du}{u} =-\ln\lvert u\rvert =-\ln\lvert 1-v^{2}\rvert.
No lado direito,
\int \frac{dx}{x}=\ln\lvert x\rvert + C.
Portanto
-\ln\lvert 1-v^{2}\rvert =\ln\lvert x\rvert + C \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert 1-v^{2}\rvert =-\ln\lvert x\rvert + C_{1}
ou
\lvert 1-v^{2}\rvert =C_{2}\,\frac{1}{\lvert x\rvert}.

Passo 6

Voltando a v=y/x, temos
1-\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2} =\frac{C}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}}=\frac{C}{x} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-y^{2}=C\,x,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A equação é homogênea e sua solução geral é
x^{2}-y^{2}=C\,x,
com C constante de integração.

Exercícios relacionados