Nos exercícios 12 a 17 verifique quais equações são homogêneas e resolva-as.
((5 x-y) d x+3 x d y=0)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(5x - y)\,dx + 3x\,dy = 0
que está na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. Queremos verificar se M e N são funções homogêneas do mesmo grau e, em caso afirmativo, usar a substituição típica de equações homogêneas, y=vx, para resolver.

Passo 2

Aplicamos a definição de homogeneidade. Definindo
M(x,y)=5x-y,\quad N(x,y)=3x,
calculamos
M(tx,ty)=5(tx)-(ty)=t(5x-y)=t\,M(x,y),
N(tx,ty)=3(tx)=t(3x)=t\,N(x,y).
Como ambos escalam por t, são homogêneos de grau 1, e podemos prosseguir com a substituição y=vx.

Passo 3

Fazendo y=vx implica
dy = v\,dx + x\,dv.
Substituindo em (5x - y)\,dx + 3x\,dy = 0, obtemos
(5x - v x)\,dx + 3x\bigl(v\,dx + x\,dv\bigr)=0
ou seja
(5 - v)x\,dx + 3vx\,dx + 3x^2\,dv = 0
\bigl(5 +2v\bigr)x\,dx +3x^2\,dv =0.
Dividindo por x^2:
(5+2v)\,\frac{dx}{x} + 3\,dv = 0 \quad\Longrightarrow\quad dv\big/(5+2v) = -\tfrac{1}{3}\,\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos separando variáveis:
\int \frac{dv}{5+2v} = \frac{1}{2}\ln\bigl|5+2v\bigr| \quad\text{e}\quad \int -\tfrac{1}{3}\,\frac{dx}{x} = -\tfrac{1}{3}\ln|x| + C.
Logo
\frac{1}{2}\ln\bigl|5+2v\bigr| = -\tfrac{1}{3}\ln|x| + C \;\Longrightarrow\; \ln\bigl|5+2v\bigr| = -\tfrac{2}{3}\ln|x| + C_1.
Exponenciando:
5 + 2v = C\,x^{-2/3}.

Passo 5

Voltando a y via v = y/x, temos
5 + 2\frac{y}{x} = C\,x^{-2/3} \quad\Longrightarrow\quad 5x + 2y = C\,x^{1/3}.
Esta é a solução geral implícita da equação.

Resposta

5x + 2y = C\,x^{\tfrac{1}{3}}.

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