Nos exercícios 12 a 17 verifique quais equações são homogêneas e resolva-as.
((5 x-y) d x+3 x d y=0)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
(5x - y)\,dx + 3x\,dy = 0
que está na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. Queremos verificar se M e N são funções homogêneas do mesmo grau e, em caso afirmativo, usar a substituição típica de equações homogêneas, y=vx, para resolver.
Passo 2
Aplicamos a definição de homogeneidade. Definindo
M(x,y)=5x-y,\quad N(x,y)=3x,
calculamos
M(tx,ty)=5(tx)-(ty)=t(5x-y)=t\,M(x,y),
N(tx,ty)=3(tx)=t(3x)=t\,N(x,y).
Como ambos escalam por t, são homogêneos de grau 1, e podemos prosseguir com a substituição y=vx.
Passo 3
Fazendo y=vx implica
dy = v\,dx + x\,dv.
Substituindo em (5x - y)\,dx + 3x\,dy = 0, obtemos