Nos exercícios 1 a 8 algumas das equações são lineares de primeira ordem. Identifique-as e ache sua solução geral.
(\frac{d r}{d \theta}+2 r \cos (2 \theta)=\operatorname{sen}(4 \theta))
(\frac{d r}{d \theta}+2 r \cos (2 \theta)=\operatorname{sen}(4 \theta))
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem linear
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é resolver equações lineares de 1ª ordem usando fator integrante.
Passo 2
Identificamos o coeficiente de
como
O fator integrante é
Calculando a integral,
logo
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
:
O lado esquerdo é agora a derivada do produto
, pois
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
No lado direito, note que
. Seja
, então
. Assim
E
Voltando a
, obtemos
Passo 5
Isolando
,
Resposta
onde
é a constante arbitrária de integração.