Nos exercícios 1 a 8 algumas das equações são lineares de primeira ordem. Identifique-as e ache sua solução geral.
(\frac{d r}{d \theta}+2 r \cos (2 \theta)=\operatorname{sen}(4 \theta))

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem linear
\frac{dr}{d\theta} + 2\,r\cos(2\theta) = \sin(4\theta)
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é resolver equações lineares de 1ª ordem usando fator integrante.

Passo 2

Identificamos o coeficiente de r como
P(\theta) = 2\cos(2\theta).
O fator integrante é
\mu(\theta) = \exp\biggl(\int P(\theta)\,d\theta\biggr) = \exp\Bigl(\int 2\cos(2\theta)\,d\theta\Bigr).
Calculando a integral,
\int 2\cos(2\theta)\,d\theta = 2\cdot\frac{\sin(2\theta)}{2} = \sin(2\theta),
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\mu(\theta) = e^{\sin(2\theta)}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(\theta):
e^{\sin(2\theta)}\frac{dr}{d\theta} +2\,r\cos(2\theta)\,e^{\sin(2\theta)} = \sin(4\theta)\,e^{\sin(2\theta)}.
O lado esquerdo é agora a derivada do produto r\,e^{\sin(2\theta)}, pois
\frac{d}{d\theta}\bigl(r\,e^{\sin(2\theta)}\bigr) = e^{\sin(2\theta)}\frac{dr}{d\theta} + r\,e^{\sin(2\theta)}\cdot\cos(2\theta)\cdot2.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a \theta:
\int \frac{d}{d\theta}\bigl(r\,e^{\sin(2\theta)}\bigr)\,d\theta = \int \sin(4\theta)\,e^{\sin(2\theta)}\,d\theta.
No lado direito, note que \sin(4\theta)=2\sin(2\theta)\cos(2\theta). Seja u=\sin(2\theta), então du=2\cos(2\theta)\,d\theta. Assim
\int \sin(4\theta)\,e^{\sin(2\theta)}\,d\theta = \int 2\sin(2\theta)\cos(2\theta)\,e^{\sin(2\theta)}\,d\theta = \int u\,e^u\,du.
E
\int u\,e^u\,du = (u-1)e^u + C.
Voltando a \theta, obtemos
r\,e^{\sin(2\theta)} = (\sin(2\theta)-1)\,e^{\sin(2\theta)} + C.

Passo 5

Isolando r,
r(\theta) = \sin(2\theta) - 1 + C\,e^{-\sin(2\theta)}.

Resposta

r(\theta) = \sin(2\theta) \;-\; 1 \;+\; C\,e^{-\sin(2\theta)},
onde C é a constante arbitrária de integração.

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