Nos exercícios 1 a 8 algumas das equações são lineares de primeira ordem. Identifique-as e ache sua solução geral.
((2 y-x^{4}) d x+x d y=0)

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(2y - x^{4})\,dx + x\,dy = 0
e pede para identificar se é linear de primeira ordem e, em caso afirmativo, achar sua solução geral. Aqui a incógnita é y em função de x, e percebemos que, após reorganizar, teremos uma equação da forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
logo é uma equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Dividindo por dx e isolando \frac{dy}{dx}, temos
x\frac{dy}{dx} + 2y - x^4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}\,y = x^3.
Dessa forma, P(x)=2/x e Q(x)=x^3.

Passo 3

O fator integrante é dado por
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) =\exp(2\ln|x|) =x^2.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=x^2, obtém-se
x^2\frac{dy}{dx} + 2x\,y = x^5.
O lado esquerdo é exatamente \frac{d}{dx}(x^2y), pois
\frac{d}{dx}(x^2y) = x^2\frac{dy}{dx} + 2x\,y.
Logo,
\frac{d}{dx}(x^2y) = x^5 \quad\Longrightarrow\quad x^2y = \int x^5\,dx = \frac{x^6}{6} + C.

Passo 5

Isolando y, chegamos à solução geral
y = \frac{x^6}{6x^2} + \frac{C}{x^2} = \frac{x^4}{6} + \frac{C}{x^2}.

Resposta

y = \frac{x^4}{6} + \frac{C}{x^2}.

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