Nos exercícios 8, 9 e 10 use o Teorema da Sequência Monótona, isto é, toda sequência limitada e monótona é convergente.
Verifique que a sequência
(raiz2, raiz2 raiz2, raiz2 raiz2 raiz2, ldots)
é convergente e calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado nos apresenta a sequência definida por
raiz2,;raiz2raiz2,;raiz2raiz2raiz2,dots
e pede para usar o Teorema da Sequência Monótona (toda sequência limitada e monótona é convergente) para mostrar que ela converge e achar o seu limite.

Passo 2

Vamos formalizar a sequência (an) por recorrência:
a1 = raiz2, an+1 = raiz2,an (n>=1)

Passo 3

Mostramos que (an) é crescente.
Base ( n=1):
a2 = raiz2,a1 = raiz2raiz2> raiz2 = a1
Passo indutivo: suponha an>= an-1. Como a função xmapstoraiz2x é crescente para x>0, temos
an+1 = raiz2,an;>=;raiz2,an-1 = an
Logo, por indução, an+1>= an para todo n, ou seja, (an) é crescente.

Passo 4

Mostramos que (an) é limitada superiormente por 2.
Base ( n=1):
a1 = raiz2<2
Passo indutivo: suponha an<2. Então
an+1 = raiz2,an < raiz2cdot 2 = 2
Assim, por indução, an<2 para todo n, e a sequência é limitada acima por 2.

Passo 5

Como (an) é crescente (Passo 3) e limitada superiormente (Passo 4), pelo Teorema da Sequência Monótona ela converge.

Passo 6

Seja L=limntoinftyan. Fazendo o limite na relação de recorrência, obtemos
L = raiz2,L
Elevando ao quadrado:
L^2 = 2,L Longrightarrow L(L-2)=0 Longrightarrow L=0 ou L=2
Como todos os an são positivos, concluímos L=2.

Resposta

2

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