Nos exercícios 8, 9 e 10 use o Teorema da Sequência Monótona, isto é, toda sequência limitada e monótona é convergente.
Verifique que a sequência
é convergente e calcule seu limite.
Verifique que a sequência
Passo 1
O enunciado nos apresenta a sequência definida por
e pede para usar o Teorema da Sequência Monótona (toda sequência limitada e monótona é convergente) para mostrar que ela converge e achar o seu limite.
e pede para usar o Teorema da Sequência Monótona (toda sequência limitada e monótona é convergente) para mostrar que ela converge e achar o seu limite.
Passo 2
Vamos formalizar a sequência
por recorrência:
Passo 3
Mostramos que
é crescente.
Base ( ):
Base (
Passo indutivo: suponha
. Como a função
é crescente para
, temos
Logo, por indução,
para todo
, ou seja,
é crescente.
Passo 4
Mostramos que
é limitada superiormente por
.
Base ( ):
Base (
Passo indutivo: suponha
. Então
Assim, por indução,
para todo
, e a sequência é limitada acima por
.
Passo 5
Como
é crescente (Passo 3) e limitada superiormente (Passo 4), pelo Teorema da Sequência Monótona ela converge.
Passo 6
Seja
. Fazendo o limite na relação de recorrência, obtemos
Elevando ao quadrado:
Como todos os
são positivos, concluímos
.