Sejam I um intervalo e f: I R uma função contínua no ponto a in I. Segue-se imediatamente das definições de continuidade e limite de sequências que se ( an ) é uma sequência com an in I para todo n e lim n infty an=a, então
lim n infty f(an)=f(a)
Use esse resultado para resolver os seguintes problemas:
Sejam f: R R uma função contínua e x in R. Defina uma sequência (xn) por x0=x e
xn+1=f(xn) n >= 1
Mostre que se lim n infty an=L, então f(L)=L.

Passo 1

O enunciado define uma função contínua fcolon RtoR e uma sequência l(xnr) por
x0 = x, xn+1 = fl(xnr)(n>=1)
Queremos mostrar que, se
limntoinftyxn = L,
então necessariamente f(L)=L. Para isso vamos usar diretamente o fato de que, se xnto L e f é contínua em L, então
limntoinftyfl(xnr) = f(L)

Passo 2

Observação sobre o deslocamento da sequência:
xn+1 = fl(xnr)
é apenas a “sequência seguinte” de l(xnr). Como limntoinftyxn = L, também vale
limntoinftyxn+1 = L
Isto é, a sequência deslocada converge ao mesmo limite L.

Passo 3

Pela continuidade de f em L e pelo fato de xnto L, temos
limntoinftyfl(xnr) = fl(limntoinftyxnr) = f(L)
Mas f(xn)=xn+1, logo
limntoinftyxn+1 = limntoinftyfl(xnr) = f(L)
Como já vimos em

Passo 4

f(L) = L

Resposta

f(L)=L.

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