Sejam um intervalo e uma função contínua no ponto . Segue-se imediatamente das definições de continuidade e limite de sequências que se ( ) é uma sequência com para todo e , então
Use esse resultado para resolver os seguintes problemas:
Sejam uma função contínua e . Defina uma sequência por e
Mostre que se , então .

Passo 1

O enunciado define uma função contínua e uma sequência por
Queremos mostrar que, se
então necessariamente . Para isso vamos usar diretamente o fato de que, se e é contínua em , então

Passo 2

Observação sobre o deslocamento da sequência:
é apenas a “sequência seguinte” de . Como , também vale
Isto é, a sequência deslocada converge ao mesmo limite .

Passo 3

Pela continuidade de em e pelo fato de , temos
Mas , logo
Como já vimos em

Passo 4

Resposta

.

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