Sejam
um intervalo e
uma função contínua no ponto
. Segue-se imediatamente das definições de continuidade e limite de sequências que se (
) é uma sequência com
para todo
e
, então
Use esse resultado para resolver os seguintes problemas:
Sejam
uma função contínua e
. Defina uma sequência
por
e
Mostre que se
, então
.
Sejam
Passo 1
O enunciado define uma função contínua
e uma sequência
por
Queremos mostrar que, se
então necessariamente
. Para isso vamos usar diretamente o fato de que, se
e
é contínua em
, então
Passo 2
Observação sobre o deslocamento da sequência:
é apenas a “sequência seguinte” de
. Como
, também vale
Isto é, a sequência deslocada converge ao mesmo limite
.
Passo 3
Pela continuidade de
em
e pelo fato de
, temos
Mas
, logo
Como já vimos em