Nos Exercícios 9 e 10 : (a) Para que valores de o vetor pertence a ?(b) Para que valores de conjunto é linearmente dependente? Justifique cada resposta.
9.
Passo 1
O enunciado dá os vetores , e
.
Pede-se (a) os valores de para os quais e (b) para quais o conjunto é linearmente dependente. O conteúdo é combinação linear e dependência linear.
Passo 2
Note que
v2=-3,v1,
portanto
mathscrLv1,v2 =alpha,v1:alphainR
Para ter v3inmathscrLv1,v2 deve existir alpha tal que
alpha,v1=v3
Da primeira coordenada vem alphacdot1=5, logo alpha=5.
Passo 3
Verificando a segunda coordenada teríamos
5cdot(-3)=-7 Longrightarrow -15=-7,
o que é impossível. Logo não há alpha que satisfaça todas as coordenadas, independentemente de h.
Passo 4
Concluímos que
v3notinmathscrLv1,v2 para todo (h)
Portanto não existe valor de h em (a).
Passo 5
Como v1 e v2 já são linearmente dependentes (v2=-3v1), qualquer conjunto que os contenha será sempre linearmente dependente, não importando v3 nem o valor de h. Em particular, para todo hneq0 (e, na verdade, para qualquer h) o conjunto v1,v2,v3 é linearmente dependente.
Resposta
(a) Não existe valor de h que faça v3inmathscrLv1,v2.
(b) Para todo hneq0 (na verdade para qualquer h), o conjunto v1,v2,v3 é linearmente dependente.