Nos Exercícios 1 a 4, determine se os vetores são linearmente independentes. Justifique cada resposta.
3.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em R^2:
v1 = 2 -3, v2 = -4 6,
e pede para verificar se eles são linearmente independentes. O conteúdo aqui é definição de independência linear em R^n, que diz que v1 e v2 são independentes se a única solução de
c1 v1 + c2 v2 = 00
for c1 = c2 = 0.
Passo 2
Uma forma rápida de testar independência em R^2 é verificar se um vetor é múltiplo escalar do outro. Se existir kneq0 tal que v2 = k,v1, então há combinação linear não trivial e os vetores são dependentes.
Passo 3
Calculamos se existe k tal que
-46 = k2-3
Comparando as componentes:
-4 = 2k Longrightarrow k = -2,
6 = -3k Longrightarrow k = -2
Como as duas igualdades dão o mesmo k=-2, concluímos que
v2 = -2,v1
Passo 4
Havendo um escalar k=-2neq0 com v2 = k,v1, existe combinação linear não trivial:
(-2),v1 + 1cdot v2 = 0
Isso mostra que v1 e v2 são linearmente dependentes.