Nos Exercícios 5 a 8, determine se as colunas da matriz dada formam um conjunto linearmente independente. Justifique cada resposta.
6. [rrr-4 & -3 & 0 0 & -1 & 5 1 & 1 & -5 2 & 1 & -10]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as três colunas da matriz
A = -4 & -3 & 0 0 & -1 & 5 1 & 1 & -5 2 & 1 & -10
são linearmente independentes em R^4. O conteúdo usado é a definição de independência linear: vetores v1,v2,v3 são independentes se a única solução do sistema homogêneo
a,v1 + b,v2 + c,v3 = 0
for a trivial a=b=c=0.

Passo 2

Rotulando as colunas por
v1 = -4012, v2 = -3-111, v3 = 05-5-10,
a combinação a,v1 + b,v2 + c,v3 = 0 gera o sistema
-4a -3b +0c = 0, 0a -b +5c = 0, a +b -5c = 0, 2a +b -10c = 0

Passo 3

Da segunda equação segue
b = 5c
Substituindo na primeira:
-4a -3(5c)=0 implies -4a -15c=0 implies a = -tfrac154c
Agora a terceira equação dá
-tfrac154c + 5c -5c = -tfrac154c = 0 implies c = 0,
logo b=5c=0 e a=-tfrac154c=0. A quarta equação é então satisfeita automaticamente.

Passo 4

Concluímos que a única solução é a=b=c=0, ou seja, não existe combinação não-trivial que zere as colunas.

Resposta

As colunas são linearmente independentes.

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