Nos Exercícios 11 e 12,
e
são bases para um espaço vetorial
. Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
a. As colunas da matriz de mudança de coordenadas
são os vetores de coordenadas
dos vetores em
.
b. Se
e
for a base canônica para
, então
será igual à matriz de mudança de coordenadas
introduzida na Seção 4.4.
a. As colunas da matriz de mudança de coordenadas
b. Se
Passo 1
O enunciado considera duas bases
e
de um espaço vetorial
e pede para classificar duas afirmações sobre a matriz de mudança de coordenadas
. Para resolver, vamos usar a definição:
cuja
-ésima coluna é exatamente
.
Passo 2
Na afirmação (a) diz-se que as colunas de
são os vetores de coordenadas \emph{em}
dos vetores em
. Mas, pela definição acima, a
-ésima coluna é
(as coordenadas de
na base
), e não as coordenadas de
na base
. Logo, a afirmação é Falsa.
Passo 3
Na afirmação (b) assumimos
e a base
como canônica. Nesse caso
é justamente o vetor coluna usual em
e a matriz
satisfaz
Mas isso coincide exatamente com a matriz
definida em Seção
(cuja colunas são
em coordenadas canônicas). Portanto, a afirmação é Verdadeira.
Resposta
(a) Falsa
(b) Verdadeira
(b) Verdadeira