Nos Exercícios 11 e 12, B e C são bases para um espaço vetorial V. Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
a. As colunas da matriz de mudança de coordenadas C B PB são os vetores de coordenadas B dos vetores em C.
b. Se V=R^n e C for a base canônica para V, então C B PB será igual à matriz de mudança de coordenadas PB introduzida na Seção 4.4.

Passo 1

O enunciado considera duas bases B=(b1,dots,bn) e C=(c1,dots,cn) de um espaço vetorial V e pede para classificar duas afirmações sobre a matriz de mudança de coordenadas CBP B. Para resolver, vamos usar a definição:
[v] C ;=; CBP B,[v] B,
cuja j-ésima coluna é exatamente [bj] C.

Passo 2

Na afirmação (a) diz-se que as colunas de CBPB são os vetores de coordenadas \emph{em} B dos vetores em C. Mas, pela definição acima, a j-ésima coluna é [bj]C (as coordenadas de bj na base C), e não as coordenadas de cj na base B. Logo, a afirmação é Falsa.

Passo 3

Na afirmação (b) assumimos V= R^n e a base C como canônica. Nesse caso [v] C é justamente o vetor coluna usual em R^n e a matriz CBP B satisfaz
[v] C ;=; CBP B,[v] B
Mas isso coincide exatamente com a matriz P B definida em Seção 4.4 (cuja colunas são b1,dots,bn em coordenadas canônicas). Portanto, a afirmação é Verdadeira.

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira

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