Sejam B=b1, b2 e C=c1, c2 bases para R^2. Em cada exercício, determine a matriz de mudança de coordenadas de B para C e a matriz de mudança de coordenadas de C para B.
b1=[r7 -2], b2=[r2 -1], c1=[l4 1], c2=[l5 2]

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2:
B= b1, b2, b1=7-2,; b2=2-1,
C= c1, c2, c1=41,; c2=52
Queremos (a) a matriz de mudança de coordenadas de B para C, que chamamos de PC B, cujas colunas são as coordenadas de b1 e b2 na base C; e (b) a matriz inversa PB C=(PC B)^-1.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são c1, c2:
MC=l[ c1; c2r] =4&51&2
O determinante é
det(MC)=4cdot2-5cdot1=3,
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MC^-1=132&-5-1&4

Passo 3

Para encontrar as coordenadas de bj em C resolvemos
bj = MC, xj, ou seja xj = MC^-1 bj.
Para b1=(7,-2)^ T:
x1 =132&-5-1&4 7-2 =132cdot7+(-5)cdot(-2)-1cdot7+4cdot(-2) =1324-15 =8-5
Para b2=(2,-1)^ T:
x2 =132&-5-1&4 2-1 =139-6 =3-2

Passo 4

As colunas x1, x2 formam PC B:
PC B =8&3-5&-2

Passo 5

A matriz de mudança de C para B é a inversa:
PB C =l(PC Br)^-1
Como det(PC B)=8cdot(-2)-3cdot(-5)=-1, temos
PB C =1-1-2&-35&8 =2&3-5&-8

Resposta

PC B=8&3-5&-2,
PB C=2&3-5&-8.

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