Seja A uma matriz invertível e m um inteiro não negativo. Mostre que:
alpha A é invertível para qualquer escalar alpha neq 0, e (alpha A)^-1=1alpha A^-1.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz invertível (ou seja, existe A^-1 tal que A A^-1=I) e pede para mostrar que, dado um escalar alphaneq0, a matriz alpha A também é invertível e que
(alpha A)^-1=1alpha,A^-1
O conteúdo usado será a definição de matriz invertível e propriedades da multiplicação escalar em matrizes.

Passo 2

Lembrando a definição: uma matriz M é invertível se existe uma matriz N tal que
M,N = N,M = I,
onde I é a matriz identidade. No nosso caso, sabemos que
A,A^-1 = A^-1,A = I

Passo 3

Como alphaneq0, 1alpha existe no corpo dos escalares. Vamos propor como candidata a inversa de alpha A a matriz
B = 1alpha,A^-1

Passo 4

Vamos verificar a multiplicação à direita:
(alpha A),B = (alpha A),l(tfrac1alphaA^-1r) = alphacdottfrac1alpha;A,A^-1 = 1cdot I = I

Passo 5

Agora a multiplicação à esquerda:
B,(alpha A) = l(tfrac1alphaA^-1r),(alpha A) = tfrac1alpha,alpha;A^-1A = I
Como atendemos ambas as condições B(alpha A)=I e (alpha A)B=I, concluímos que alpha A é invertível e sua inversa é B.

Resposta

(alpha A)^-1 = 1alpha,A^-1

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