Seja
uma matriz invertível e
um inteiro não negativo. Mostre que:
é invertível para qualquer escalar
, e
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz invertível (ou seja, existe
tal que
) e pede para mostrar que, dado um escalar
, a matriz
também é invertível e que
O conteúdo usado será a definição de matriz invertível e propriedades da multiplicação escalar em matrizes.
Passo 2
Lembrando a definição: uma matriz
é invertível se existe uma matriz
tal que
onde
é a matriz identidade. No nosso caso, sabemos que
Passo 3
Como
,
existe no corpo dos escalares. Vamos propor como candidata a inversa de
a matriz
Passo 4
Vamos verificar a multiplicação à direita:
Passo 5
Agora a multiplicação à esquerda:
Como atendemos ambas as condições
e
, concluímos que
é invertível e sua inversa é
.