Nos Exercícios 11 a 14, determine o(s) valor(es) de h que torna os vetores linearmente dependentes. Justifique cada resposta.
12. [r3 -6 1],[r-6 4 -3],[l9 h 3]

Passo 1

O enunciado dá três vetores em :
e pede o(s) valor(es) de para os quais esses vetores são linearmente dependentes. Em , três vetores são linearmente dependentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles (como colunas) for zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são v1,v2,v3:
A = 3 & -6 & 9 -6 & 4 & h 1 & -3 & 3
Para dependência linear, exigimos
det(A)=0

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão:
det(A) =3det!4 & h-3 & 3 -(-6)det!-6 & h1 & 3 +9det!-6 & 41 & -3
Agora cada menor:
det!4 & h-3 & 3=4cdot3 - hcdot(-3)=12+3h,
det!-6 & h1 & 3 =(-6)cdot3 - hcdot1 = -18 - h,
det!-6 & 41 & -3 =(-6)cdot(-3) - 4cdot1 = 18 - 4 = 14
Substituindo:
det(A) =3(12+3h) +6(-18 - h) +9cdot14

Passo 4

Simplificando:
3(12+3h)=36+9h, 6(-18 - h)=-108-6h, 9cdot14=126,
então
det(A)=36+9h -108 -6h +126 = (36-108+126)+(9h-6h)=54+3h
Impondo det(A)=0
54+3h=0 Longrightarrow h=-18

Resposta

-18

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