Nos Exercícios 5 a 8, determine se as colunas da matriz dada formam um conjunto linearmente independente. Justifique cada resposta.
8. [rrrr1 & -2 & 3 & 2 -2 & 4 & -6 & 2 0 & 1 & -1 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as colunas da matriz
A = 1 & -2 & 3 & 2 -2 & 4 & -6 & 2 0 & 1 & -1 & 3
formam um conjunto linearmente independente em R^3. O conteúdo aqui é teste de independência linear: basta encontrar se existe ou não uma combinação linear não-trivial das colunas que resulte no vetor zero.

Passo 2

Denotemos as colunas de A por v1, v2, v3, v4, onde
v1 = 1-20, v2 = -241, v3 = 3-6-1, v4 = 223

Passo 3

Observamos que
v1 - v2 = 1-20 - -241 = 1+2-2-40-1 = 3-6-1 = v3
Logo existe a combinação linear não-trivial
v1 - v2 - v3 = 0,
prova de que as colunas não são todas independentes.

Resposta

As colunas são linearmente dependentes, pois v3 = v1 - v2.

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