Nos exercícios 11 a 16, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
(y^{2}=2 x, x=0, y=0) e (y=2); ao redor do eixo \operatorname{dos} y

Passo 1

A região é limitada pelas curvas y^2=2x, x=0, y=0 e a reta y=2. Como vamos girar essa região em torno do eixo y, o método mais direto é o dos discos (ou fatias) em função de y.

Passo 2

Da equação y^2=2x isolamos x em função de y:
x=y^22
Ao girar em torno do eixo y, cada fatia em y gera um disco de raio
R(y)=x=y^22

Passo 3

A área desse disco é
A(y)=pil(R(y)r)^2=pil(y^22r)^2=piy^44
Portanto o volume é
V=integraly=0^2A(y),dy=integral0^2piy^44,dy=pi4integral0^2y^4,dy

Passo 4

Agora calculamos a integral:
integral0^2y^4,dy=l[y^55r]0^2=2^55=325
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V=pi4cdot325=8pi5

Resposta

V= tfrac8pi5

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