Nos exercícios 11. a 16. esboce o gráfico da função, especificando o domínio e a imagem.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente precisa esboçar o gráfico da
e especificar domínio e imagem.
Conteúdo: funções com valor absoluto (módulo) e análise de pedaços (funções polinomiais).
O que vamos precisar:
- Saber que
- Identificar os pontos onde os módulos “viram”: aqui sãoe .
- Para cada intervalo, substituir os módulos pela forma certa e estudar a quadrática resultante (vértice e monotonicidade).
Passo 2
Identificar os pontos onde cada
muda de definição:
-
em . -
em .
Então dividimos o domínio real em três intervalos:
Passo 3
Expressar cada módulo em cada intervalo:
-
Se
, então e .
Logo
-
Se
, então e .
Logo
-
Se
, então e .
Logo
Passo 4
Agora, para cada pedaço, analisamos vértice (mínimo) e monotonicidade:
-
, vértice em . Como aqui , a função decresce até . -
. - Para
, .
Então emo mínimo “chega” a 2 (pela borda ).
-
-
em . É crescente (porque derivada se ). -
. -
.
-
-
, vértice em . Para , a parábola está crescendo. -
. - Para
, .
-
Do pedaço 1 vem um mínimo “limitante” 2, do pedaço 2 confirmamos
e no máximo local em
=10, e do pedaço 3 cresce além de 10. Ou seja, o menor valor que
atinge é 2, e ela cresce sem limite positivo.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: