Nos exercícios 11. a 16. esboce o gráfico da função, especificando o domínio e a imagem.
f(x)=x^2+|3-x|+|x-1|-1

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa esboçar o gráfico da
f(x)=x^2+|3-x|+|x-1|-1
e especificar domínio e imagem.
Conteúdo: funções com valor absoluto (módulo) e análise de pedaços (funções polinomiais).
O que vamos precisar:
  • Saber que |A|=A,&A>=0-A,&A<0
    - Identificar os pontos onde os módulos “viram”: aqui são e .
    - Para cada intervalo, substituir os módulos pela forma certa e estudar a quadrática resultante (vértice e monotonicidade).

Passo 2

Identificar os pontos onde cada muda de definição:
  • em .
  • em .
    Então dividimos o domínio real em três intervalos:

Passo 3

Expressar cada módulo em cada intervalo:
  1. Se |3-x|=3-x,|x-1|=1-x, então f(x)=x^2+(3-x)+(1-x)-1 =x^2-2x+3 e |3-x|=3-x,|x-1|=x-1.
    f(x)=x^2+(3-x)+(x-1)-1 =x^2+1
    Logo
    |3-x|=x-3,|x-1|=x-1
  2. Se f(x)=x^2+(x-3)+(x-1)-1 =x^2+2x-5 , então e .

    Logo
  3. Se , então e .

    Logo

Passo 4

Agora, para cada pedaço, analisamos vértice (mínimo) e monotonicidade:
  1. , vértice em . Como aqui , a função decresce até .
    • .
    • Para , .
      Então em o mínimo “chega” a 2 (pela borda ).
  2. em . É crescente (porque derivada se ).
    • .
    • .
  3. , vértice em . Para , a parábola está crescendo.
    • .
    • Para , .
Do pedaço 1 vem um mínimo “limitante” 2, do pedaço 2 confirmamos e no máximo local em =10, e do pedaço 3 cresce além de 10. Ou seja, o menor valor que atinge é 2, e ela cresce sem limite positivo.

Resposta

Domínio:
Imagem:

Exercícios relacionados