Nos exercícios 11. a 16. esboce o gráfico da função, especificando o domínio e a imagem.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente esboçar o gráfico da função ,
dizendo também o domínio e a imagem.
Isso é assunto de valor absoluto e composição de funções.
Para resolver, vamos precisar:
lembrar a definição de em pedaços;
fazer umas substituições internas (pra “desempacotar” valor absoluto);
montar o gráfico por partes e achar domínio e imagem.
Passo 2
Primeiro, apresenta a definição de valor absoluto:
lvert trvert = t, & t>=0, -t, & t<0
Na nossa função, temos três desses “ a = lvert x - 1rvert, b = lvert a - 1rvert, f(x) = lvert b - 1rvert ”.
Vamos chamar, em cascata,
Assim fica mais fácil trabalhar em cada etapa.
Passo 3
Estuda .
– Se (i.e.\ ), então .
– Se (i.e.\ ), então .
Isso diz que para todo e muda a “fórmula” em .
Passo 4
Agora .
Aplicando a mesma ideia:
– Se (ou ), então .
– Se (ou ), então .
Mas lembre: , então “” é “”, isto é centrado em 1.
Passo 5
Por fim :
– Se , .
– Se , .
Agora junta tudinho e organiza por intervalos de .
As fronteiras principais aparecem quando (isto é ) e (isto é ).
Segmentos de :
⇒ ⇒ .
daí ⇒ .
Em suma, para : .
⇒ cai em ⇒ fica em ⇒ .
⇒ ⇒ ⇒ também em ⇒ .
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ .
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ .
Passo 6
Resumindo o gráfico por pedaços (cada trecho é reta):
Para : , cresce de (em ) até em .
De a : , sobe de até .
De a : , faz um “V” com vértice em e valor máximo em .
De a : , desce de a .
Para : , cresce de até .
Os pontos mais importantes:
Zeros em .
Picos locais de altura em e .
Resposta
Domínio: todo .
Imagem: .
O gráfico é uma sequência de “V”s e retas, com valores mínimos nos pontos e que cresce sem limite para .