Nos exercícios 11. a 16. esboce o gráfico da função, especificando o domínio e a imagem.
f(x)=|||x-1|-1|-1|

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente esboçar o gráfico da função
,
dizendo também o domínio e a imagem.
Isso é assunto de valor absoluto e composição de funções.
Para resolver, vamos precisar:
  1. lembrar a definição de em pedaços;
  2. fazer umas substituições internas (pra “desempacotar” valor absoluto);
  3. montar o gráfico por partes e achar domínio e imagem.

Passo 2

Primeiro, apresenta a definição de valor absoluto:
lvert trvert = t, & t>=0, -t, & t<0
Na nossa função, temos três desses “ a = lvert x - 1rvert, b = lvert a - 1rvert, f(x) = lvert b - 1rvert ”.
Vamos chamar, em cascata,
Assim fica mais fácil trabalhar em cada etapa.

Passo 3

Estuda .
– Se (i.e.\ ), então .
– Se (i.e.\ ), então .
Isso diz que para todo e muda a “fórmula” em .

Passo 4

Agora .
Aplicando a mesma ideia:
– Se (ou ), então .
– Se (ou ), então .
Mas lembre: , então “ ” é “ ”, isto é centrado em 1.

Passo 5

Por fim :
– Se , .
– Se , .
Agora junta tudinho e organiza por intervalos de .
As fronteiras principais aparecem quando
(isto é ) e
(isto é ).
Segmentos de :
  1. .
    daí .
    Em suma, para :
    .
  2. cai em
    fica em
    .

  3. também em
    .


  4. .


  5. .

Passo 6

Resumindo o gráfico por pedaços (cada trecho é reta):
  • Para : , cresce de (em ) até em .
  • De a : , sobe de até .
  • De a : , faz um “V” com vértice em e valor máximo em .
  • De a : , desce de a .
  • Para : , cresce de até .
Os pontos mais importantes:
  • Zeros em .
  • Picos locais de altura em e .

Resposta

Domínio: todo .
Imagem: .
O gráfico é uma sequência de “V”s e retas, com valores mínimos nos pontos e que cresce sem limite para .

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