Nos exercícios 31-40, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração da integral iterada
inverter a ordem de integração e, por fim, calcular o valor numérico.
Conteúdos usados: descrição de região em coordenadas cartesianas, troca de ordem de integração e técnica de substituição em integrais simples.
Conteúdos usados: descrição de região em coordenadas cartesianas, troca de ordem de integração e técnica de substituição em integrais simples.
Passo 2
Vamos descrever a região
dada por
Em termos de inequações, a curva
é uma reta passando pela origem com inclinação
. A reta vertical
fecha a região à direita, e
e
são as retas horizontais superior e inferior. O esboço é um trapézio triangular que se estende de
até
.
Passo 3
Para inverter a ordem, observamos que, em
,
varia desde o menor valor na reta
(isto é,
) até
, e para cada
fixo,
vai de
até
. Logo, a integral invertida é
Passo 4
Dentro da integral em
,
é constante, então
Assim a integral dupla vira
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Passo 5
Calculando os valores,
Resposta
O valor da integral é
.