Nos exercícios 31-40, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
integral0^2 raizln 3 integraly / 2^raizln 3 e^x^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração da integral iterada
integral0^2raizln 3!integraly/2^raizln 3 e^x^2;dx,dy,
inverter a ordem de integração e, por fim, calcular o valor numérico.
Conteúdos usados: descrição de região em coordenadas cartesianas, troca de ordem de integração e técnica de substituição em integrais simples.

Passo 2

Vamos descrever a região R dada por
0 <= y <= 2raizln 3, y2 <= x <= raizln 3
Em termos de inequações, a curva x = y/2 é uma reta passando pela origem com inclinação 2. A reta vertical x = raizln 3 fecha a região à direita, e y=0 e y=2raizln3 são as retas horizontais superior e inferior. O esboço é um trapézio triangular que se estende de x=y/2 até x=raizln3.

Passo 3

Para inverter a ordem, observamos que, em R, x varia desde o menor valor na reta y=0 (isto é, x=0) até x=raizln3, e para cada x fixo, y vai de 0 até 2x. Logo, a integral invertida é
integralx=0^raizln 3 integraly=0^2x e^x^2;dy,dx

Passo 4

Dentro da integral em y, e^x^2 é constante, então
integraly=0^2x e^x^2;dy = e^x^2l[yr]0^2x = 2x,e^x^2
Assim a integral dupla vira
integral0^raizln 3 2x,e^x^2;dx
Fazendo a substituição u = x^2, du = 2x,dx, obtemos
integral0^ln 3 e^u;du = l[e^ur]0^ln 3 = e^ln 3 - e^0

Passo 5

Calculando os valores,
e^ln 3 - e^0 = 3 - 1 = 2

Resposta

O valor da integral é 2.

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