Nos exercícios 11-16, resolva a integral iterada.
integral0^pi / 4 integral0^1 y cos x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral0^pi / 4 integral0^1 y cos x , dy , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que é um tópico de cálculo integral que nos ajuda a calcular áreas e volumes sob superfícies. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: integral0^1 y cos x , dy. Olha só, aqui cos x é tratado como uma constante em relação a y, porque estamos integrando em relação a y. A integral de y em relação a y é y^22.

Passo 3

Aplicando isso, temos:
integral0^1 y cos x , dy = cos x [ y^22 ]0^1 = cos x ( 1^22 - 0^22 ) = cos x ( 12 ) = cos x2

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Então, nossa expressão fica:
integral0^pi / 4 cos x2 , dx
Podemos fatorar o 12 para facilitar:
12 integral0^pi / 4 cos x , dx

Passo 5

A próxima etapa é integrar cos x em relação a x. A integral de cos x é sin x. Então, temos:
12 [ sin x ]0^pi / 4 = 12 ( sin ( pi4 ) - sin (0) )

Passo 6

Sabemos que sin ( pi4 ) = raiz22 e sin (0) = 0. Substituindo esses valores:
12 ( raiz22 - 0 ) = 12 cdot raiz22 = raiz24

Resposta

O valor da integral dupla é raiz24.

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