Nos exercícios 11-16, resolva a integral iterada.
integral0^2 integral0^6 x^2 x^3 d y d x

Passo 1

Vamos resolver a integral iterada integral0^2 integral0^6 x^2 x^3 , dy , dx. Neste exercício, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Precisamos integrar a função x^3 primeiro em relação a y e depois em relação a x, dentro dos limites fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integração interna, que é em relação a y. A função que estamos integrando é x^3, e como ela não depende de y, podemos tratá-la como uma constante durante essa integração.

Passo 3

A integral interna é integral0^6 x^2 x^3 , dy. Como x^3 é constante em relação a y, a integral simplifica para x^3 multiplicado pela diferença dos limites de integração.

Passo 4

Calculando a integral interna:
integral0^6 x^2 x^3 , dy = x^3 cdot (6x^2 - 0) = 6x^5

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com:
integral0^2 6x^5 , dx

Passo 6

Vamos integrar 6x^5 em relação a x. Lembrando que a integral de x^n é x^n+1n+1, aplicamos essa regra aqui.

Passo 7

Calculando a integral externa:
integral0^2 6x^5 , dx = 6 cdot ( x^66 ) g|0^2 = x^6 g|0^2

Passo 8

Agora, avaliamos x^6 nos limites de 0 a 2:
2^6 - 0^6 = 64 - 0 = 64

Resposta

O valor da integral é 64.

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