Nos exercícios 11-16, resolva a integral iterada.
integral0^1 integral0^y(6 x+5 y^3) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla para resolver:
integral0^1 integral0^y(6 x+5 y^3) , dx , dy
Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente das integrais iteradas. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. Vamos precisar saber como integrar funções polinomiais e entender os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a x:
integral0^y (6x + 5y^3) , dx
Essa integral significa que, para cada valor de y, a gente integra a função 6x + 5y^3 de x = 0 até x = y.

Passo 3

Vamos resolver a integral interna passo a passo. A função dentro da integral é 6x + 5y^3:
integral (6x + 5y^3) , dx = integral 6x , dx + integral 5y^3 , dx
Integrando termo a termo:
integral 6x , dx = 6 cdot x^22 = 3x^2
integral 5y^3 , dx = 5y^3 cdot x
Então, a antiderivada é:
3x^2 + 5y^3 x

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de x = 0 até x = y:
[3x^2 + 5y^3 x]0^y = (3y^2 + 5y^4) - (0 + 0) = 3y^2 + 5y^4
Então, a integral interna resulta em 3y^2 + 5y^4.

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa, que é em relação a y:
integral0^1 (3y^2 + 5y^4) , dy
Vamos integrar essa expressão com respeito a y.

Passo 6

Resolva a integral:
integral (3y^2 + 5y^4) , dy = 3 integral y^2 , dy + 5 integral y^4 , dy
Integrando termo a termo:
3 integral y^2 , dy = 3 cdot y^33 = y^3
5 integral y^4 , dy = 5 cdot y^55 = y^5
Então, a antiderivada é:
y^3 + y^5

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de y = 0 até y = 1:
[y^3 + y^5]0^1 = (1^3 + 1^5) - (0 + 0) = 1 + 1 = 2

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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