Nos exercícios 17 a 20, calcule a integral iterada convertendo-a em coordenadas polares.
integral0^2 integral0^raiz4-x^2 x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^2integral0^raiz4-x^2x,dy,dx
convertendo para coordenadas polares. O conteúdo aqui é mudança de variáveis para polares, então vamos precisar identificar a região de integração no plano xy, escrever x em função de r e theta e incluir o fator Jacobiano.

Passo 2

A região de integração em xy é
R=l(x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<=raiz4-x^2r,
que é o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante. Em coordenadas polares (r,theta) isso vira
0<= r<=2, 0<= theta<=pi2

Passo 3

Em coordenadas polares temos
x = rcostheta,
e o elemento de área dy,dx se transforma em r,dr,dtheta. Logo o integrando x,dy,dx passa a ser
rcostheta;times;r,dr,dtheta ;=;r^2costheta,dr,dtheta

Passo 4

A integral dupla em polares fica então
integraltheta=0^pi2 integralr=0^2 r^2costheta,dr,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em r:
integral0^2r^2,dr =[r^33]0^2 =83
Portanto a integral vira
83integral0^pi2costheta,dtheta

Passo 6

Agora integramos em theta:
integral0^pi2costheta,dtheta =l[sinthetar]0^pi2 =1
Multiplicando pelo fator tfrac83

Resposta

83

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