Nos Exercícios 11 a 22, utilize operações de linha para transformar cada matriz na forma escalonada. Em seguida, resolva o sistema por substituição.
x1+3 x2+3 x3=13
2 x1+5 x2+4 x3=23
2 x1+7 x2+8 x3=29

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando operações de linha para transformar a matriz associada na forma escalonada e depois resolver por substituição. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente o método de eliminação de Gauss. Para isso, vamos precisar manipular as equações para simplificar o sistema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
1 & 3 & 3 & | & 13 2 & 5 & 4 & | & 23 2 & 7 & 8 & | & 29

Passo 3

Nosso objetivo é ter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso, vamos eliminar os elementos 2 nas posições (2,1) e (3,1).
  • Linha 2: Linha 2 - 2 times Linha 1
2 - 2 times 1 = 0, 5 - 2 times 3 = -1, 4 - 2 times 3 = -2, 23 - 2 times 13 = -3
  • Linha 3: Linha 3 - 2 times Linha 1
2 - 2 times 1 = 0, 7 - 2 times 3 = 1, 8 - 2 times 3 = 2, 29 - 2 times 13 = 3
A matriz fica assim:
1 & 3 & 3 & | & 13 0 & -1 & -2 & | & -3 0 & 1 & 2 & | & 3

Passo 4

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna para ter um zero abaixo do segundo elemento. Primeiro, vamos simplificar a Linha 2 multiplicando por -1 para facilitar:
  • Linha 2: -1 times Linha 2
0, 1, 2, 3
A matriz fica:
1 & 3 & 3 & | & 13 0 & 1 & 2 & | & 3 0 & 1 & 2 & | & 3
Agora, vamos eliminar o 1 na posição (3,2) subtraindo a Linha 2 da Linha 3:
  • Linha 3: Linha 3 - Linha 2
0 - 0 = 0, 1 - 1 = 0, 2 - 2 = 0, 3 - 3 = 0
A matriz agora está:
1 & 3 & 3 & | & 13 0 & 1 & 2 & | & 3 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 5

Com a matriz escalonada, podemos observar que temos uma linha redundante (a terceira linha é 0 = 0). Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, mas vamos encontrar uma solução específica usando substituição.
Vamos expressar x1 e x2 em termos de x3:
Da segunda equação:
x2 + 2x3 = 3 Rightarrow x2 = 3 - 2x3
Da primeira equação:
x1 + 3x2 + 3x3 = 13
Substituindo x2:
x1 + 3(3 - 2x3) + 3x3 = 13 x1 + 9 - 6x3 + 3x3 = 13 x1 - 3x3 = 4 x1 = 4 + 3x3

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = 4 + 3x3, x2 = 3 - 2x3, x3 é livre é
Ou seja, para qualquer valor de x3, podemos encontrar x1 e x2 correspondentes seguindo as equações acima.

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