Nos Exercícios 11 a 22, utilize operações de linha para transformar cada matriz na forma escalonada. Em seguida, resolva o sistema por substituição.
3 x1+x2+x3+6 x4=14
x1-2 x2+5 x3-5 x4=-7
4 x1+x2+2 x3+7 x4=17

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
3x1+x2+x3+6x4=14, x1-2x2+5x3-5x4=-7, 4x1+x2+2x3+7x4=17
usando eliminação de Gauss (operações de linha para obter forma escalonada) e então voltar por substituição. Como há mais incógnitas ( 4) do que equações ( 3), esperamos encontrar solução geral com variáveis livres.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e trocamos a linha 1 com a linha 2 para ter pivô 1 na primeira posição:
[cccc|c 3 & 1 & 1 & 6 & 14 1 & -2 & 5 & -5 & -7 4 & 1 & 2 & 7 & 17 ] ;xrightarrowR1rightarrow R2; [cccc|c 1 & -2 & 5 & -5 & -7 3 & 1 & 1 & 6 & 14 4 & 1 & 2 & 7 & 17 ]

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô da coluna usando
; e :

Passo 4

Agora eliminamos a entrada abaixo do pivô da coluna 2 em R3 fazendo
;R3>=ts R3-tfrac97R2:
[cccc|c 1 & -2 & 5 & -5 & -7 0 & 7 & -14 & 21 & 35 0 & 9 & -18 & 27 & 45 ] ;xrightarrowR3>=ts R3-97R2; [cccc|c 1 & -2 & 5 & -5 & -7 0 & 7 & -14 & 21 & 35 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]
Isso é a forma escalonada: duas equações não triviais e uma linha nula.

Passo 5

Traduzimos de volta em equações:
Da linha 2
7x2-14x3+21x4=35 Longrightarrow x2-2x3+3x4=5
Da linha 1
x1-2x2+5x3-5x4=-7
Como temos 4 incógnitas e apenas 2 equações independentes, escolhemos duas variáveis livres. Seja
x3=s, x4=t, s,tinR

Passo 6

Resolvemos para x2 e x1:
x2=5+2s-3t,
substituindo em x1-2x2+5s-5t=-7:
x1-2(5+2s-3t)+5s-5t=-7 ;Longrightarrow; x1-10-4s+6t+5s-5t=-7 ;Longrightarrow; x1=3 - s - t

Resposta

boxed (x1,x2,x3,x4) =(,3 - s - t,;5 + 2s - 3t,;s,;t), s,tinR

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