Nos exercícios 12 a 17 verifique quais equações são homogêneas e resolva-as.
(x y^{\prime}+y=3)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferential
x\,y' + y = 3
e pede para verificar se ela é homogênea e, em seguida, resolvê-la. Trata-se de uma equação de primeira ordem, do tipo linear, que resolveremos com fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por x (supondo x\neq0):
y' + \frac{1}{x}\,y = \frac{3}{x}.

Passo 3

Em uma equação linear da forma
y' + P(x)\,y = Q(x)
dizemos que é homogênea se Q(x)=0. Aqui P(x)=1/x e Q(x)=3/x\neq0, logo não é homogênea. Para resolver, vamos usar fator integrante.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr)=\exp\Bigl(\int\frac{1}{x}\,dx\Bigr)=\exp(\ln|x|)=|x|.
Escolhendo x>0 temos \mu(x)=x.

Passo 5

Multiplicando a forma padrão por \mu(x)=x:
x\,y' + y = 3.
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de x\,y:
\frac{d}{dx}(x\,y)=x\,y'+y.

Passo 6

Integramos ambos os lados:
\frac{d}{dx}(x\,y)=3 \quad\Longrightarrow\quad \int \frac{d}{dx}(x\,y)\,dx = \int 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,y = 3x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Isolando y:
y = 3 + \frac{C}{x}.

Resposta

A equação não é homogênea e sua solução geral é
y(x) = 3 + \frac{C}{x},\quad x\neq0.

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