Nos exercícios 12 a 17 verifique quais equações são homogêneas e resolva-as.
(x y^{\prime}+y=3)
(x y^{\prime}+y=3)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferential
e pede para verificar se ela é homogênea e, em seguida, resolvê-la. Trata-se de uma equação de primeira ordem, do tipo linear, que resolveremos com fator integrante.
Passo 2
Colocamos em forma padrão dividindo por
(supondo
):
Passo 3
Em uma equação linear da forma
dizemos que é homogênea se
. Aqui
e
, logo não é homogênea. Para resolver, vamos usar fator integrante.
Passo 4
O fator integrante é
Escolhendo
temos
.
Passo 5
Multiplicando a forma padrão por
:
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
:
Passo 6
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração.
Passo 7
Isolando
:
Resposta
A equação não é homogênea e sua solução geral é