Nos exercícios 12 a 34, calcular as integrais.
integral0^pi / 2 cos x(1+sen x)^5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pi/2cos xl(1+sen xr)^5,dx
O método mais adequado aqui é usar substituição (mudança de variável) aproveitando que a derivada de sen x é cos x.

Passo 2

Definimos
t = 1 + sen x, dt = cos x,dx
Quando x=0 temos t=1 e quando x=pi/2 temos t=2. Com isso, a integral em x passa a ser uma integral em t.

Passo 3

A integral original transforma-se em
integral1^2 t^-5 , dt
Sabendo que
integral t^-5 , dt = -tfrac14 t^-4,
podemos usar essa antiderivada para continuar.

Passo 4

Avaliando de t=1 até t=2:
-tfrac14,t^-4|1^2 = -tfrac14l(2^-4-1^-4r) = -tfrac14l(tfrac116-1r) = -tfrac14l(-tfrac1516r) = tfrac1564

Resposta

tfrac1564

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