Nos exercícios 12 a 34, calcular as integrais.
integral0^2 raiz2 x(raizx+raiz5) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2 raiz2,xl(raizx+raiz5r),dx
O conteúdo envolve integração de potências de x e aplicação da linearidade (fator constante).

Passo 2

Primeiro fatoramos raiz2 e escrevemos cada termo como potência de x:
raiz2,xl(raizx+raiz5r) = raiz2l(x^1cdot x^1/2 + xcdot raiz5r) = raiz2l(x^3/2 + raiz5,xr)

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando integral x^ndx = x^n+1n+1:
integral l(x^3/2 + raiz5,xr),dx = integral x^3/2dx + raiz5integral x,dx = 25x^5/2 + raiz52x^2
Multiplicando pelo fator raiz2, a primitiva é
F(x) = raiz2!(25x^5/2 + raiz52x^2)

Passo 4

Avaliaremos F(x) de 0 a 2.
Em x=2:
x^5/2 = 2^5/2=4raiz2, 25x^5/2 = 25cdot4raiz2=8raiz25, raiz52x^2 = raiz52cdot4=2raiz5
Logo,
F(2) = raiz2!l(tfrac8raiz25+2raiz5r) = 8cdot25 + 2raiz10 = 165 + 2raiz10
Em x=0 tudo dá zero, então a integral vale
F(2)-F(0)=165+2raiz10

Resposta

165 + 2raiz10

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