Nos Exercícios de 1 a 12, ache a massa e o centro de massa da lâmina, se a densidade de massa por unidade de área for a indicada. A massa é medida em quilogramas e a distância em metros.
A lâmina na forma de uma região retangular, limitada pelas retas x=3, y=2 e pelos eixos coordenados. A densidade em qualquer ponto é xy^2 kg cdot m^2.

Passo 1

O enunciado descreve uma lâmina ocupando a região retangular
R=(x,y)mid 0<= x<=3,;0<= y<=2
com densidade superficial de<a(x,y)=xy^2 (kg/ m^2). Precisamos calcular a massa
M=integral duplaRde<a(x,y),dA
e as coordenadas do centro de massa
bar x=1Mintegral duplaR x,de<a(x,y),dA, bar y=1Mintegral duplaR y,de<a(x,y),dA

Passo 2

Calcular a massa M:
M=integralx=0^3integraly=0^2x,y^2,dy,dx
Primeiro fazemos a integral em y:
integral0^2y^2,dy=[y^33]0^2=83
Logo
M=integral0^3xcdot83,dx=83integral0^3x,dx =83cdot3^22 =12 (kg)

Passo 3

Calcular o momento em relação ao eixo y e bar x:
My=integral duplaR x,de<a(x,y),dA =integral0^3integral0^2x^2y^2,dy,dx
De novo integral0^2y^2,dy=8/3, então
My=83integral0^3x^2,dx =83cdot3^33 =24
Assim
bar x=MyM=2412=2 (m)

Passo 4

Calcular o momento em relação ao eixo x e bar y:
Mx=integral duplaR y,de<a(x,y),dA =integral0^3integral0^2x,y^3,dy,dx
Aqui integral0^2y^3,dy=[y^44]0^2=4, então
Mx=4integral0^3x,dx =4cdot92 =18
Logo
bar y=MxM=1812=32 (m)

Resposta

Massa M=12 kg
Centro de massa l(bar x,bar yr)=(2,tfrac32) m

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