Nos Exercícios de 1 a 12, ache a massa e o centro de massa da lâmina, se a densidade de massa por unidade de área for a indicada. A massa é medida em quilogramas e a distância em metros.
A lâmina na forma de uma região retangular cujos lados são segmentos dos eixos coordenados e a reta
. A densidade em qualquer ponto é
.
A lâmina na forma de uma região retangular cujos lados são segmentos dos eixos coordenados e a reta
Passo 1
O enunciado descreve uma lâmina ocupando a região triangular
limitada pelos eixos coordenados e pela reta
, isto é, pelos pontos
,
e
. A densidade superficial é
Para lâminas planas, a massa total é
e as coordenadas do centro de massa são
Vamos usar coordenadas cartesianas com
variando de
a
e, para cada
,
de
a
.
Passo 2
Calcular a massa
Expandindo e integrando:
Logo,
Passo 3
Calcular o momento em relação ao eixo
(para
):
Desenvolvendo e integrando:
Assim,
Passo 4
Calcular o momento em relação ao eixo
(para
):
Integrando:
(Atenção: houve erro de digitação; refazendo corretamente:)
Logo,
Resposta
Massa da lâmina:
kg
Centro de massa: m
Centro de massa: