Nos Exercícios de 1 a 12, ache a massa e o centro de massa da lâmina, se a densidade de massa por unidade de área for a indicada. A massa é medida em quilogramas e a distância em metros.
A lâmina na forma de uma região retangular cujos lados são segmentos dos eixos coordenados e a reta x+2y=6. A densidade em qualquer ponto é y^2 kg cdot m^2.

Passo 1

O enunciado descreve uma lâmina ocupando a região triangular R limitada pelos eixos coordenados e pela reta x+2y=6, isto é, pelos pontos (0,0), (6,0) e (0,3). A densidade superficial é
de<a(x,y)=y^2(kg/ m^2)
Para lâminas planas, a massa total é
M=integral duplaRde<a(x,y),dA,
e as coordenadas do centro de massa são
bar x=1Mintegral duplaRx,de<a(x,y),dA, bar y=1Mintegral duplaRy,de<a(x,y),dA
Vamos usar coordenadas cartesianas com y variando de 0 a 3 e, para cada y, x de 0 a 6-2y.

Passo 2

Calcular a massa
M=integraly=0^3integralx=0^6-2yy^2,dx,dy =integral0^3y^2l[,xr]0^6-2y,dy =integral0^3y^2(6-2y),dy
Expandindo e integrando:
integral0^3(6y^2-2y^3),dy =l[2y^3-tfrac12y^4r]0^3 =2cdot27-tfrac12cdot81 =54-40,5 =13,5
Logo,
M=13,5 kg

Passo 3

Calcular o momento em relação ao eixo y (para bar x):
My=integral duplaRx,de<a(x,y),dA =integral0^3integral0^6-2yx,y^2,dx,dy =integral0^3y^2,(6-2y)^22,dy
Desenvolvendo e integrando:
My =tfrac12integral0^3(36y^2-24y^3+4y^4),dy =tfrac12l[12y^3-6y^4+tfrac45y^5r]0^3 =tfrac12l(324-486+194,4r) =16,2
Assim,
bar x=MyM=16,213,5=1,2 m

Passo 4

Calcular o momento em relação ao eixo x (para bar y):
Mx=integral duplaRy,de<a(x,y),dA =integral0^3integral0^6-2yy^3,dx,dy =integral0^3y^3(6-2y),dy
Integrando:
integral0^3(6y^3-2y^4),dy =l[2y^4-tfrac25y^5r]0^3 =2cdot81-tfrac25cdot243 =162-97,2 =64,8?
(Atenção: houve erro de digitação; refazendo corretamente:)
integral0^3(6y^3-2y^4),dy =l[ tfrac64y^4-tfrac25y^5r]0^3 =l[1,5,y^4-0,4,y^5r]0^3 =1,5cdot81-0,4cdot243 =121,5-97,2 =24,3
Logo,
bar y=MxM=24,313,5=1,8 m

Resposta

Massa da lâmina: M=13,5 kg
Centro de massa: l(bar x,bar yr)=(1,2,;1,8) m

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