Nos Exercícios de 1 a 12, ache a massa e o centro de massa da lâmina, se a densidade de massa por unidade de área for a indicada. A massa é medida em quilogramas e a distância em metros.
A lâmina na forma de uma região retangular, limitada pelas retas x=4, y=5 e pelos eixos coordenados. A densidade em qualquer ponto é (x^2+y) kg cdot m^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar a massa e o centro de massa de uma lâmina que tem a forma de um retângulo. A densidade da massa por unidade de área varia de acordo com a posição na lámina, sendo dada por de<a(x, y) = x^2 + y kg/m². Para resolver isso, vamos usar cálculos de integrais duplas, que nos ajudam a somar todas as partes da lâmina considerando essa densidade variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a massa total da lâmina. A massa M é calculada integrando a densidade sobre toda a região da lámina. Como a lâmina é um retângulo limitado por x = 4, y = 5 e os eixos coordenados, nossos limites de integração serão de x = 0 a x = 4 e de y = 0 a y = 5.
A fórmula para a massa é:
M = integral duplalimitsR de<a(x, y) , dA
Substituindo a densidade:
M = integral0^4 integral0^5 (x^2 + y) , dy , dx

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y. Então, para cada x fixo, integramos x^2 + y de y = 0 a y = 5:
integral0^5 (x^2 + y) , dy = integral0^5 x^2 , dy + integral0^5 y , dy = x^2 cdot y |0^5 + 12 y^2 |0^5
Calculando:
= x^2 cdot 5 + 12 cdot 25 = 5x^2 + 12.5

Passo 4

Agora, inserimos o resultado da integral interna na integral externa, que é em relação a x:
M = integral0^4 (5x^2 + 12.5) , dx
Vamos integrar termo a termo:
= 5 integral0^4 x^2 , dx + 12.5 integral0^4 dx
Calculando as integrais:
= 5 cdot ( x^33 |0^4 ) + 12.5 cdot (x |0^4)
= 5 cdot ( 643 - 0 ) + 12.5 cdot (4 - 0) = 3203 + 50
= 320 + 1503 = 4703 approx 156.67 , kg

Passo 5

Agora que temos a massa, vamos encontrar o centro de massa (x, y). O centro de massa é calculado usando as fórmulas:
x = 1M integral duplalimitsR x cdot de<a(x, y) , dA
y = 1M integral duplalimitsR y cdot de<a(x, y) , dA
Vamos calcular cada uma dessas integrais.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular x:
integral duplalimitsR x cdot de<a(x, y) , dA = integral0^4 integral0^5 x(x^2 + y) , dy , dx = integral0^4 integral0^5 (x^3 + xy) , dy , dx
Resolvendo a integral interna:
integral0^5 (x^3 + xy) , dy = x^3 cdot y |0^5 + x cdot y^22 |0^5 = 5x^3 + x cdot 252 = 5x^3 + 25x2
Agora, integramos em relação a x:
integral0^4 (5x^3 + 25x2) , dx = 5 cdot x^44 |0^4 + 252 cdot x^22 |0^4 = 5 cdot 2564 + 25 cdot 164 = 320 + 100 = 420
Então:
x = 4204703 = 420 cdot 3470 = 1260470 approx 2.68 , m

Passo 7

Agora, vamos calcular y:
integral duplalimitsR y cdot de<a(x, y) , dA = integral0^4 integral0^5 y(x^2 + y) , dy , dx = integral0^4 integral0^5 (x^2 y + y^2) , dy , dx
Resolvendo a integral interna:
integral0^5 (x^2 y + y^2) , dy = x^2 cdot y^22 |0^5 + y^33 |0^5 = x^2 cdot 252 + 1253 = 25x^22 + 1253
Agora, integramos em relação a x:
integral0^4 (25x^22 + 1253) , dx = 252 cdot x^33 |0^4 + 1253 cdot x |0^4 = 25 cdot 646 + 5003 = 16006 + 5003 = 1600 + 10006 = 26006 = 13003 approx 433.33
Então:
y = 433.334703 = 433.33 cdot 3470 = 1300470 approx 2.77 , m

Resposta

A massa da lâmina é aproximadamente 156.67 kg, e o centro de massa está localizado nas coordenadas (x, y) approx (2.68, m, 2.77, m).

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