Nos Exercícios de 1 a 12, ache a massa e o centro de massa da lâmina, se a densidade de massa por unidade de área for a indicada. A massa é medida em quilogramas e a distância em metros.
A lâmina na forma de uma região retangular, limitada pelas retas e pelos eixos coordenados. A densidade em qualquer ponto é .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar a massa e o centro de massa de uma lâmina que tem a forma de um retângulo. A densidade da massa por unidade de área varia de acordo com a posição na lámina, sendo dada por kg/m². Para resolver isso, vamos usar cálculos de integrais duplas, que nos ajudam a somar todas as partes da lâmina considerando essa densidade variável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a massa total da lâmina. A massa é calculada integrando a densidade sobre toda a região da lámina. Como a lâmina é um retângulo limitado por , e os eixos coordenados, nossos limites de integração serão de a e de a .
A fórmula para a massa é:
Substituindo a densidade:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Então, para cada fixo, integramos de a :
Calculando:
= x^2 cdot 5 + 12 cdot 25 = 5x^2 + 12.5
Passo 4
Agora, inserimos o resultado da integral interna na integral externa, que é em relação a x: