Nos exercícios 9-12, calcule o termo geral
da série com a soma parcial dada
. Se a sequência de somas parciais convergir, encontre seu limite
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série com a soma parcial
. O conteúdo envolvido aqui é o de sequências e séries, especificamente o cálculo do termo geral de uma série a partir da soma parcial. Para resolver, vamos precisar entender como extrair o termo geral
a partir de
e verificar se a sequência de somas parciais converge, ou seja, se ela tem um limite quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o termo geral
da série. A soma parcial
representa a soma dos primeiros
termos da série. Para achar
, usamos a fórmula:
Isso nos dá o valor do
-ésimo termo subtraindo a soma dos
primeiros termos da soma dos
primeiros.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula:
Agora, calculamos
:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Portanto, o termo geral
é simplesmente
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a sequência de somas parciais
converge, ou seja, se existe um limite
quando
tende ao infinito. Observamos que:
Quando
cresce sem limites, o termo
domina, então
tende a infinito.
Resposta
O termo geral da série é
. A sequência de somas parciais
não converge, pois seu limite é infinito.