Nos exercícios 9-12, calcule o termo geral an da série com a soma parcial dada Sn. Se a sequência de somas parciais convergir, encontre seu limite S.
Sn=n(n+1)2, n >= 1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série com a soma parcial Sn = n(n+1)2 . O conteúdo envolvido aqui é o de sequências e séries, especificamente o cálculo do termo geral de uma série a partir da soma parcial. Para resolver, vamos precisar entender como extrair o termo geral an a partir de Sn e verificar se a sequência de somas parciais converge, ou seja, se ela tem um limite quando n tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o termo geral an da série. A soma parcial Sn representa a soma dos primeiros n termos da série. Para achar an , usamos a fórmula:
an = Sn - Sn-1
Isso nos dá o valor do n -ésimo termo subtraindo a soma dos n-1 primeiros termos da soma dos n primeiros.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula:
Sn = n(n+1)2
Sn-1 = (n-1)n2
Agora, calculamos an :
an = Sn - Sn-1 = n(n+1)2 - (n-1)n2

Passo 4

Simplificando a expressão:
an = n(n+1) - (n-1)n2
an = n^2 + n - n^2 + n2
an = 2n2 = n
Portanto, o termo geral an é simplesmente n .

Passo 5

Agora, vamos verificar se a sequência de somas parciais Sn converge, ou seja, se existe um limite S quando n tende ao infinito. Observamos que:
Sn = n(n+1)2 = n^2 + n2
Quando n cresce sem limites, o termo n^2 domina, então Sn tende a infinito.

Resposta

O termo geral da série é an = n . A sequência de somas parciais Sn = n(n+1)2 não converge, pois seu limite é infinito.

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