Um objeto se move ao longo de uma curva C de parametrização r(t)=(-1+3 cos t) i+(2+2 sen t) j, t in[0,2 pi].
Determine a velocidade e a aceleração desse objeto no instante t=pi.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória de um objeto por
r(t)=(-1+3cos t),i+(2+2sin t),j,
para tin[0,2pi], e pede a velocidade e a aceleração no instante t=pi. Vamos usar o conceito de derivada de função vetorial: a velocidade é r'(t) e a aceleração é r''(t).

Passo 2

Calcular a velocidade genérica v(t)=r'(t) derivando componente a componente. Derivando -1+3cos t e 2+2sin t em relação a t, obtemos
v(t)=r'(t)=(-3sin t),i+(2cos t),j

Passo 3

Avaliar v(t) em t=pi. Como sinpi=0 e cospi=-1, temos
v(pi)=(-3cdot0),i+(2cdot(-1)),j=0,i-2,j

Passo 4

Encontrar a aceleração genérica a(t)=v'(t)=r''(t) derivando v(t). Derivando -3sin t e 2cos t, vem
a(t)=v'(t)=(-3cos t),i+(-2sin t),j

Passo 5

Avaliar a(t) em t=pi. Como cospi=-1 e sinpi=0, obtemos
a(pi)=(-3cdot(-1)),i+(-2cdot0),j=3,i+0,j

Resposta

v(pi)=0,i-2,j, a(pi)=3,i+0,j

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