Nos exercícios 8 a 12 diga se é possível garantir que o problema de valor inicial admite solução única. Quando admitir solução única, dê o maior intervalo admissível
, I aberto, que contém a abscissa da condição inicial.
com cada uma das condições iniciais:
Passo 1
Estamos diante do problema de valor inicial
com
no primeiro caso e
no segundo. O que se pede é verificar existência e unicidade de solução pelo Teorema de Picard–Lindelöf e, caso haja unicidade, determinar o maior intervalo aberto
contendo
em que ela é garantida.
Passo 2
O Teorema de Picard–Lindelöf exige que
seja contínua em
e Lipschitz em
numa vizinhança do ponto
. Note que
é contínua em todo
, mas
não existe (é singular) em
. Isso indica falta de Lipschitz em
junto a
.
Passo 3
Como não há condição de Lipschitz em
próximo a
, o teorema de unicidade não se aplica. De fato, além da solução trivial
, existem soluções não‐triviais que “ficam zero até um certo ponto” e depois crescem, mostrando que a unicidade falha.
Passo 4
Conclusão para cada condição inicial:
- Para
: há existência de soluções, mas não é possível garantir unicidade. - Para
: mesma análise, há existência mas não se garante unicidade.
Resposta
Para nenhum dos casos pode-se garantir solução única, logo não há intervalo aberto
em que o teorema assegure unicidade.