Nos exercícios 8 a 12 diga se é possível garantir que o problema de valor inicial admite solução única. Quando admitir solução única, dê o maior intervalo admissível I, I aberto, que contém a abscissa da condição inicial.
y^{\prime}=y^{2 / 3}, \quad y(0)=0 com cada uma das condições iniciais:
y(3)=0

Passo 1

Estamos diante do problema de valor inicial
y' = y^{2/3},\quad y(x_0)=0
com x_0=0 no primeiro caso e x_0=3 no segundo. O que se pede é verificar existência e unicidade de solução pelo Teorema de Picard–Lindelöf e, caso haja unicidade, determinar o maior intervalo aberto I contendo x_0 em que ela é garantida.

Passo 2

O Teorema de Picard–Lindelöf exige que f(x,y)=y^{2/3} seja contínua em (x,y) e Lipschitz em y numa vizinhança do ponto (x_0,0). Note que
f(x,y)=y^{2/3}
é contínua em todo \R^2, mas
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\tfrac{2}{3}\,y^{-1/3}
não existe (é singular) em y=0. Isso indica falta de Lipschitz em y junto a y=0.

Passo 3

Como não há condição de Lipschitz em y próximo a y=0, o teorema de unicidade não se aplica. De fato, além da solução trivial y(x)\equiv 0, existem soluções não‐triviais que “ficam zero até um certo ponto” e depois crescem, mostrando que a unicidade falha.

Passo 4

Conclusão para cada condição inicial:
  • Para y(0)=0: há existência de soluções, mas não é possível garantir unicidade.
  • Para y(3)=0: mesma análise, há existência mas não se garante unicidade.

Resposta

Para nenhum dos casos pode-se garantir solução única, logo não há intervalo aberto I em que o teorema assegure unicidade.

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