Nos exercícios 8 a 12 diga se é possível garantir que o problema de valor inicial admite solução única. Quando admitir solução única, dê o maior intervalo admissível I, I aberto, que contém a abscissa da condição inicial.
y^{\prime}=\frac{x-y}{x+y}, \quad y(1)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' = \frac{x - y}{x + y},\qquad y(1) = -1,
e pede para verificar se podemos garantir existência e unicidade da solução pelo teorema de Picard–Lindelöf. Para isso precisamos de um domínio aberto D\subset\mathbb{R}^2 contendo (1,-1) em que a função
f(x,y)=\frac{x - y}{x + y}
seja contínua e Lipschitz em y.

Passo 2

O único “problema” de continuidade de f aparece quando x+y=0, pois aí o denominador some. Logo o domínio natural de f é
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x + y \neq 0\}.
Mas o ponto inicial (1,-1) satisfaz 1 + (-1)=0, ou seja, ele está fora de D. Como f não está nem definida em (1,-1), não podemos aplicar o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf em torno de x=1.

Resposta

Não é possível garantir existência nem unicidade de solução em qualquer intervalo aberto I contendo 1, pois o lado direito da ODE não está definido na condição inicial.

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