Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea.
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-5 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem
y'' + 3y' - 5y = 0.
Informações dadas:
\text{a equação é linear, homogênea e de coeficientes constantes: } y'' + 3y' - 5y = 0.çãéê
Pergunta: encontre a solução geral y(x) que contém as constantes arbitrárias necessárias para representar todas as soluções da equação.

Passo 2

Idéia do método (explicação didática passo a passo): procuramos soluções da forma exponencial porque, para equações lineares com coeficientes constantes, exponenciais simples transformam derivadas em multiplicações por uma constante — isso simplifica muito. Então assumimos uma solução do tipo
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (possivelmente real ou complexo) a determinar. Aqui r representa a taxa de crescimento/decrescimento da solução exponencial.

Passo 3

Calcule as derivadas correspondentes à hipótese y=e^{rx}. Temos
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^2 e^{rx}.
Substituindo essas expressões na equação diferencial original obtemos
r^2 e^{rx} + 3r e^{rx} - 5 e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero para qualquer x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação polinomial (chamada equação característica)
r^2 + 3r - 5 = 0.

Passo 4

Agora vamos resolver a equação quadrática
r^2 + 3r - 5 = 0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Se tivermos uma equação \,ar^2 + br + c = 0, então as raízes são dadas por
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes da equação quadrática. Aqui temos a=1, b=3, c=-5.

Passo 5

Calcule o discriminante \Delta e as raízes explicitamente. O discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4\cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29.
Como \Delta>0, temos duas raízes reais e distintas. Aplicando a fórmula:
r = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}.
Chamando
r_1 = \frac{-3 + \sqrt{29}}{2},\qquad r_2 = \frac{-3 - \sqrt{29}}{2},
obtivemos os dois valores de r.

Passo 6

Forme a solução geral a partir das duas soluções fundamentais. Para uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, se a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, então duas soluções linearmente independentes são e^{r_1 x} e e^{r_2 x}. A solução geral é a combinação linear dessas:
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinam a solução particular de acordo com condições iniciais). Aqui a independência linear é garantida porque r_1\neq r_2; por exemplo, o Wronskiano dessas soluções é proporcional a r_2-r_1, não nulo.

Passo 7

Substituindo os valores de r_1 e r_2 que calculamos, a solução geral fica escrita explicitamente como
y(x)=C_1 \exp\!\left(\frac{-3+\sqrt{29}}{2}\,x\right) + C_2 \exp\!\left(\frac{-3-\sqrt{29}}{2}\,x\right),
com C_1,C_2 constantes reais arbitrárias. Pronto — essa expressão representa todas as soluções da equação dada.

Resposta

y(x)=C_1 \exp\!\left(\dfrac{-3+\sqrt{29}}{2}\,x\right) + C_2 \exp\!\left(\dfrac{-3-\sqrt{29}}{2}\,x\right)

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