Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem
Informações dadas:
Pergunta: encontre a solução geral
que contém as constantes arbitrárias necessárias para representar todas as soluções da equação.
Passo 2
Idéia do método (explicação didática passo a passo): procuramos soluções da forma exponencial porque, para equações lineares com coeficientes constantes, exponenciais simples transformam derivadas em multiplicações por uma constante — isso simplifica muito. Então assumimos uma solução do tipo
onde
é um número (possivelmente real ou complexo) a determinar. Aqui
representa a taxa de crescimento/decrescimento da solução exponencial.
Passo 3
Calcule as derivadas correspondentes à hipótese
. Temos
Substituindo essas expressões na equação diferencial original obtemos
Como
nunca é zero para qualquer
, podemos dividir por
e obter a equação polinomial (chamada equação característica)
Passo 4
Agora vamos resolver a equação quadrática
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Se tivermos uma equação
, então as raízes são dadas por
onde
,
e
são os coeficientes da equação quadrática. Aqui temos
,
,
.
Passo 5
Calcule o discriminante
e as raízes explicitamente. O discriminante é
Como
, temos duas raízes reais e distintas. Aplicando a fórmula:
Chamando
obtivemos os dois valores de
.
Passo 6
Forme a solução geral a partir das duas soluções fundamentais. Para uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, se a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, então duas soluções linearmente independentes são
e
. A solução geral é a combinação linear dessas:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinam a solução particular de acordo com condições iniciais). Aqui a independência linear é garantida porque
; por exemplo, o Wronskiano dessas soluções é proporcional a
, não nulo.
Passo 7
Substituindo os valores de
e
que calculamos, a solução geral fica escrita explicitamente como
com
constantes reais arbitrárias. Pronto — essa expressão representa todas as soluções da equação dada.