Resolva os PVIs sabendo que são EDOs de Bernoulli.
lx d y-(y+x y^3(1+ln (x))) d x=0 y(1)=-1

Passo 1

O PVI é dado por
x,dy - l(y + x y^3 (1 + ln x)r),dx = 0,
com condição y(1)=-1. Isso caracteriza uma EDO de Bernoulli, pois pode ser posta na forma dy/dx + P(x)y = Q(x) y^n. Vamos usar a substituição y^1-n para resolvê-la.

Passo 2

Reescrevendo em forma explícita, dividimos todos os termos por x,dx e isolamos dy/dx:
dydx = yx + (1 + ln x),y^3
Esse é o formato padrão para aplicar a técnica de Bernoulli.

Passo 3

Identificamos os parâmetros da forma dydx + P(x)y = Q(x)y^n:
P(x) = -tfrac1x, Q(x) = 1 + ln x, n = 3

Passo 4

Fazemos a substituição v = y^1-n = y^-2. Derivando, temos
dvdx = -2y^-3dydx
Substituindo dy/dx da equação original,
dvdx = -2y^-3l(yx + (1+ln x)y^3r) = -2l(y^-2x + 1 + ln xr) = -2l(vx + 1 + ln xr)
Logo a equação em v é linear:
dvdx + 2xv = -2(1 + ln x)

Passo 5

Para resolver essa EDO linear, calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral tfrac2xdx = x^2
Multiplicando a equação por x^2, obtemos
ddx(x^2 v) = -2x^2(1 + ln x)
Integramos ambos os lados. Por partes, encontra-se
x^2 v = -tfrac23x^3ln x - tfrac49x^3 + C

Passo 6

Dividindo por x^2 e lembrando que v=y^-2, chega-se a
y^-2 = -tfrac23xln x - tfrac49x + Cx^-2
Usando y(1)=-1 implica y^-2(1)=1, logo
1 = -tfrac23cdot1cdot0 - tfrac49cdot1 + C implies C = tfrac139

Passo 7

Substituindo C=13/9, a solução implícita é
y^-2 = -tfrac23xln x - tfrac49x + tfrac139x^-2
Tomando raiz quadrada e escolhendo o sinal negativo (para y(1)=-1), a solução final é
y(x) = -l(-tfrac23xln x - tfrac49x + tfrac139x^-2r)^-tfrac12

Resposta

y(x) = -l(-tfrac23xln x - tfrac49x + tfrac139x^-2r)^-tfrac12

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