Resolva os PVIs sabendo que são EDOs de Bernoulli.
Passo 1
O PVI é dado por
com condição
. Isso caracteriza uma EDO de Bernoulli, pois pode ser posta na forma
. Vamos usar a substituição
para resolvê-la.
Passo 2
Reescrevendo em forma explícita, dividimos todos os termos por
e isolamos
:
Esse é o formato padrão para aplicar a técnica de Bernoulli.
Passo 3
Identificamos os parâmetros da forma
:
Passo 4
Fazemos a substituição
. Derivando, temos
Substituindo
da equação original,
Logo a equação em
é linear:
Passo 5
Para resolver essa EDO linear, calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
, obtemos
Integramos ambos os lados. Por partes, encontra-se
Passo 6
Dividindo por
e lembrando que
, chega-se a
Usando
implica
, logo
Passo 7
Substituindo
, a solução implícita é
Tomando raiz quadrada e escolhendo o sinal negativo (para
), a solução final é