Nos exercícios de 3 a 12, seja p a proporção populacional para a condição dada. Encontre as estimativas de ponto para p e q.
Reciclagem. Em uma pesquisa entre 1.002 norte-americanos adultos, 752 declaram fazer reciclagem.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede as estimativas pontuais para p e q:
  • Tamanho da amostra: n=1002.
  • Número de indivíduos que declaram fazer reciclagem (sucessos): x=752.
O que é pedido:
  • Estimativa pontual para p (a proporção populacional que faz reciclagem).
  • Estimativa pontual para q (onde q=1-p, a proporção que não faz reciclagem).

Passo 2

Definição e fórmula da estimativa pontual para a proporção:
  • A estimativa pontual natural para a proporção p é a proporção amostral \hat{p}, dada por:
\hat{p}=\frac{x}{n},
onde x é o número de sucessos na amostra e n é o tamanho da amostra.
Explicando as variáveis:
  • x: número observado de indivíduos com a característica de interesse (aqui, reciclam) — no problema x=752.
  • n: número total de observações na amostra — aqui n=1002.
  • \hat{p}: estimativa pontual (melhor palpite) para a proporção populacional p.
Comentário didático rápido: \hat{p} é usada porque, intuitivamente, a frequência observada na amostra é o melhor palpite para a proporção verdadeira da população. Para amostras aleatórias simples e razoavelmente grandes, \hat{p} é um estimador consistente e aproximadamente sem viés.

Passo 3

Cálculo de \hat{p}:
Primeiro escrevo a fração e simplifico quando possível:
\hat{p}=\frac{752}{1002}=\frac{376}{501}.
Agora calculo a forma decimal. Fazendo a divisão (pode-se fazer por divisão longa ou por calculadora), obtém-se
\frac{376}{501}\approx 0,750498\ldots
Explicando o que foi feito: a simplificação dividiu numerador e denominador por 2. Em seguida, a divisão 376\div501 produz o decimal periódico/aperiódico mostrado; para fins práticos arredondamos.

Passo 4

Arredondamento e apresentação de \hat{p}:
Usando arredondamento para quatro casas decimais (prática comum em estatística aplicada), observa-se que a quinta casa decimal é 8, então a quarta casa sobe em uma unidade. Assim:
\hat{p}\approx 0,7505.
Regra usada: se a primeira casa descartada é maior ou igual a 5, aumenta-se a última casa mantida; caso contrário, mantém-se.

Passo 5

Cálculo da estimativa pontual para q:
Por definição q=1-p. O estimador correspondente é
\hat{q}=1-\hat{p}.
Posso também calcular diretamente como a frequência dos “não-sucessos”:
\hat{q}=\frac{n-x}{n}=\frac{1002-752}{1002}=\frac{250}{1002}=\frac{125}{501}.
Transformando em decimal (ou usando o complemento de \hat{p}):
\hat{q}=1-0,750498\ldots \approx 0,249502\ldots
Arredondando para quatro casas decimais:
\hat{q}\approx 0,2495.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para a prova:
  • \hat{p}=0,7505 significa que, pela amostra, estima-se que cerca de 75{,}05\% da população faz reciclagem.
  • \hat{q}=0,2495 significa que cerca de 24{,}95\% não faz reciclagem.
    Dica prática: em provas, sempre escreva a fórmula \hat{p}=x/n, substitua os números, simplifique a fração se possível e depois arredonde mantendo justificativa do número de casas decimais.

Resposta

\hat{p}=0,7505
\hat{q}=0,2495

Exercícios relacionados