Nos exercícios de 3 a 12, seja p a proporção populacional para a condição dada. Encontre as estimativas de ponto para p e q.
Reciclagem. Em uma pesquisa entre 1.002 norte-americanos adultos, 752 declaram fazer reciclagem.
Reciclagem. Em uma pesquisa entre 1.002 norte-americanos adultos, 752 declaram fazer reciclagem.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede as estimativas pontuais para
e
:
- Tamanho da amostra:
. - Número de indivíduos que declaram fazer reciclagem (sucessos):
.
O que é pedido:
- Estimativa pontual para
(a proporção populacional que faz reciclagem). - Estimativa pontual para
(onde , a proporção que não faz reciclagem).
Passo 2
Definição e fórmula da estimativa pontual para a proporção:
- A estimativa pontual natural para a proporção
é a proporção amostral , dada por:
onde
é o número de sucessos na amostra e
é o tamanho da amostra.
Explicando as variáveis:
-
: número observado de indivíduos com a característica de interesse (aqui, reciclam) — no problema . -
: número total de observações na amostra — aqui . -
: estimativa pontual (melhor palpite) para a proporção populacional .
Comentário didático rápido:
é usada porque, intuitivamente, a frequência observada na amostra é o melhor palpite para a proporção verdadeira da população. Para amostras aleatórias simples e razoavelmente grandes,
é um estimador consistente e aproximadamente sem viés.
Passo 3
Cálculo de
:
Primeiro escrevo a fração e simplifico quando possível:
Agora calculo a forma decimal. Fazendo a divisão (pode-se fazer por divisão longa ou por calculadora), obtém-se
Explicando o que foi feito: a simplificação dividiu numerador e denominador por
. Em seguida, a divisão
produz o decimal periódico/aperiódico mostrado; para fins práticos arredondamos.
Passo 4
Arredondamento e apresentação de
:
Usando arredondamento para quatro casas decimais (prática comum em estatística aplicada), observa-se que a quinta casa decimal é
, então a quarta casa sobe em uma unidade. Assim:
Regra usada: se a primeira casa descartada é maior ou igual a
, aumenta-se a última casa mantida; caso contrário, mantém-se.
Passo 5
Cálculo da estimativa pontual para
:
Por definição
. O estimador correspondente é
Posso também calcular diretamente como a frequência dos “não-sucessos”:
Transformando em decimal (ou usando o complemento de
):
Arredondando para quatro casas decimais:
Passo 6
Interpretação rápida e dica para a prova:
-
significa que, pela amostra, estima-se que cerca de da população faz reciclagem. -
significa que cerca de não faz reciclagem.
Dica prática: em provas, sempre escreva a fórmula, substitua os números, simplifique a fração se possível e depois arredonde mantendo justificativa do número de casas decimais.