(UECE 2010) Sejam P e Q polígonos regulares. Se P é um hexágono e se o número de diagonais do Q, partindo de um vértice, é igual ao número total de diagonais de P então a medida de cada um dos ângulos internos de Q é:
a) 144 graus.
b) 150 graus.
c) 156 graus.
d) 162 graus.
e) 175 graus

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar bem claro para eu não me perder):
  • P é um polígono regular com 6 lados (hexágono).
  • Q é um polígono regular (não sabemos quantos lados ainda).
  • A condição: o número de diagonais de Q que partem de um vértice é igual ao número total de diagonais de P.
    O que o enunciado pede:
  • Determinar a medida de cada ângulo interno de Q (entre as alternativas dadas).

Passo 2

Entender quantas diagonais partem de um vértice de um polígono com n lados (e por que).
  • Pegando um vértice fixo, ele pode se ligar aos outros n-1 vértices por segmentos.
  • Desses n-1 segmentos, dois são lados (os que ligam ao vértice imediatamente à direita e à esquerda) e um é o próprio vértice (não conta).
  • Portanto, o número de diagonais que partem de um vértice é
\text{diagonais por vértice} = n-3.é
Explicando com palavras: de n-1 possíveis conexões, tiro as 2 que são lados, sobrando n-3 diagonais.

Passo 3

Entender a fórmula do número total de diagonais de um polígono com n lados (e por que).
  • Cada par de vértices determina um segmento. Há \binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2} pares.
  • Destes segmentos, n são lados. Os demais são diagonais.
  • Logo o número total de diagonais é
\text{diagonais totais} = \frac{n(n-1)}{2} - n = \frac{n(n-1)-2n}{2} = \frac{n(n-3)}{2}.
Esta fórmula é muito útil e aparece sempre em provas.

Passo 4

Calcular o número total de diagonais de P (o hexágono), usando n=6.
\text{diagonais de }P = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6\cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9.
Ou seja, o hexágono tem 9 diagonais no total. (Guarda esse número — ele aparece na condição do enunciado.)

Passo 5

Traduzir a condição do enunciado para uma equação e descobrir quantos lados tem Q.
  • Se Q tem m lados, então o número de diagonais partindo de um vértice de Q é m-3 (veja Passo 2).
  • O enunciado diz que esse número é igual ao número total de diagonais de P, que encontramos ser 9.
  • Portanto:
m-3 = 9.
Resolve-se a equação:
m = 9 + 3 = 12.
Logo Q é um dodecágono regular (tem 12 lados).

Passo 6

Encontrar a medida de cada ângulo interno de um polígono regular com m lados (fórmula e explicação).
  • A soma dos ângulos internos de um polígono com m lados vale (m-2)\cdot 180^\circ. Isso vem de decompor o polígono em m-2 triângulos, cada triângulo com soma 180^\circ.
  • Em um polígono regular, todos os ângulos internos são iguais, então cada ângulo interno vale
\text{ângulo interno} = \frac{(m-2)\cdot 180^\circ}{m}.â
Aqui m é o número de lados (e de vértices).

Passo 7

Aplicar a fórmula com m=12.
\text{ângulo interno de }Q = \frac{(12-2)\cdot 180^\circ}{12} = \frac{10\cdot 180^\circ}{12}.â
Fazendo a conta de forma simples: 180^\circ/12 = 15^\circ, então 10\cdot 15^\circ = 150^\circ.
Portanto cada ângulo interno de Q mede 150^\circ.

Resposta

b) 150^\circ

Exercícios relacionados