(UECE 2010) Sejam
e
polígonos regulares. Se
é um hexágono e se o número de diagonais do
, partindo de um vértice, é igual ao número total de diagonais de
então a medida de cada um dos ângulos internos de
é:
a) 144 graus.
b) 150 graus.
c) 156 graus.
d) 162 graus.
e) 175 graus
a) 144 graus.
b) 150 graus.
c) 156 graus.
d) 162 graus.
e) 175 graus
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar bem claro para eu não me perder):
-
é um polígono regular com lados (hexágono). -
é um polígono regular (não sabemos quantos lados ainda). - A condição: o número de diagonais de
que partem de um vértice é igual ao número total de diagonais de .
O que o enunciado pede: - Determinar a medida de cada ângulo interno de
(entre as alternativas dadas).
Passo 2
Entender quantas diagonais partem de um vértice de um polígono com
lados (e por que).
- Pegando um vértice fixo, ele pode se ligar aos outros
vértices por segmentos. - Desses
segmentos, dois são lados (os que ligam ao vértice imediatamente à direita e à esquerda) e um é o próprio vértice (não conta). - Portanto, o número de diagonais que partem de um vértice é
Explicando com palavras: de
possíveis conexões, tiro as 2 que são lados, sobrando
diagonais.
Passo 3
Entender a fórmula do número total de diagonais de um polígono com
lados (e por que).
- Cada par de vértices determina um segmento. Há
pares. - Destes segmentos,
são lados. Os demais são diagonais. - Logo o número total de diagonais é
Esta fórmula é muito útil e aparece sempre em provas.
Passo 4
Calcular o número total de diagonais de
(o hexágono), usando
.
Ou seja, o hexágono tem
diagonais no total. (Guarda esse número — ele aparece na condição do enunciado.)
Passo 5
Traduzir a condição do enunciado para uma equação e descobrir quantos lados tem
.
- Se
tem lados, então o número de diagonais partindo de um vértice de é (veja Passo 2). - O enunciado diz que esse número é igual ao número total de diagonais de
, que encontramos ser . - Portanto:
Resolve-se a equação:
Logo
é um dodecágono regular (tem
lados).
Passo 6
Encontrar a medida de cada ângulo interno de um polígono regular com
lados (fórmula e explicação).
- A soma dos ângulos internos de um polígono com
lados vale . Isso vem de decompor o polígono em triângulos, cada triângulo com soma . - Em um polígono regular, todos os ângulos internos são iguais, então cada ângulo interno vale
Aqui
é o número de lados (e de vértices).
Passo 7
Aplicar a fórmula com
.
Fazendo a conta de forma simples:
, então
.
Portanto cada ângulo interno de mede
.
Portanto cada ângulo interno de
Resposta
b)