Nos exercícios 3 a 12, verifique se W é subespaço vetorial de V.
V=M(2,2), W=[cca & a+b a-b & b] / a, b in R

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = M(2,2) das matrizes 2times2 sobre R e o subconjunto
W = a & a+b[6pt]a-b & b ,midd<=|, a,binR
Para mostrar que W é subespaço de V precisamos verificar:
1 que a matriz zero está em W,
2 que W é fechado sob soma,
3 que W é fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 2

Verificamos a existência do vetor zero em W. Basta escolher a=0 e b=0. Então
0 & 0+0[6pt]0-0 & 0 = 0 & 00 & 0
que é a matriz zero de V. Logo, 0in W.]

Passo 3

Mostramos fechamento sob soma. Sejam
M1=a1 & a1+b1[4pt]a1-b1 & b1, M2=a2 & a2+b2[4pt]a2-b2 & b2
em W. Então
M1+M2 = a1+a2 & (a1+b1)+(a2+b2)[4pt](a1-b1)+(a2-b2) & b1+b2
Definindo a'=a1+a2 e b'=b1+b2, vemos que
M1+M2 = a' & a'+b'[4pt]a'-b' & b' in W,
logo W é fechado sob soma.]

Passo 4

Mostramos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e
M=a & a+b[4pt]a-b & bin W
Então
lambda M = lambda a & lambda(a+b)[4pt]lambda(a-b) & lambda b
Definindo a'=lambda a e b'=lambda b, fica
lambda M = a' & a'+b'[4pt]a'-b' & b' in W,
ou seja, W é fechado sob multiplicação por escalar.]

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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